Question

4．一质点在xOy平面上运动，运动方程为x=3t，y=2t²-4．求t=3s时的位置矢量、速度和加速度．

Answer 1

分析 根据位移公式x=v₀t和$y={v}_{y}t+\frac{1}{2}{a}_{y}{t}^{2}$；结合x=3t，y=2t²-4，可求解出x、y两个方向的分运动的速度和加速度后进行合成，得到合位移、合速度与合加速度．

解答 解：根据位移公式x=v₀t，结合x=3t可知物体沿x方向做匀速直线运动，速度：v_x=3m/s
根据位移公式$y={v}_{y}t+\frac{1}{2}{a}_{y}{t}^{2}$；结合y=2t²-4，可知沿y方向物体做匀加速直线运动，初速度为0，加速度：a_y=4m/s²
所以当t=3s时，x方向的位移：x=3×3=9m，y方向的位移：y=2×4²-4=28m
其合矢量：$r=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{{9}^{2}+2{8}^{2}}=\sqrt{865}m=29.4$m，合矢量与x之间的夹角：$tanθ=\frac{y}{x}=\frac{28}{9}$
t=3s时刻，沿x方向的分速度是3m/s，沿y方向的分速度：v_y=v_y0+a_yt=0+4×3=12m/s，
合速度：$v=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+1{2}^{2}}=3\sqrt{17}$m/s，与x之间的方向：$tanβ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}=\frac{12}{3}=4$
该物体沿x方向的加速度是0，沿y方向的加速度是4m/s²，所以合加速度的方向沿y轴方向，大小是4m/s²
答：t=3s时的位置矢量大小是29.4m/s，合矢量与x之间的夹角是$tanθ=\frac{28}{9}$；速度大小是$3\sqrt{17}$m/s，方向与x轴之间的夹角是tanβ=4，加速度大小是4m/s²，沿y轴方向．

点评 该题考查对匀变速直线运动的位移公式的理解与应用，解答本题关键明确：位移与时间的关系式，来确定运动的性质，掌握运动的合成．