Question

5．某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟．已知赛车质量m=0.1kg，通电后以额定功率P=1.5W工作，进入竖直轨道前受到阻力恒为0.3N，随后在运动中受到的阻力均可不计．图中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，s=1.50m．问要使赛车完成比赛，
（1）在竖直圆轨道最高点速度至少为多大？
（2）在竖直圆轨道最低点B赛车对轨道压力至少为多大？
（3）电动机至少工作多长时间？（取g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）赛车刚好到达竖直圆轨道最高点时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求赛车通过圆轨道最高点的最小速度．
（2）竖直圆轨道是光滑的，由动能定理求出小球通过B点的最小速度，再由牛顿定律求在竖直圆轨道最低点B赛车对轨道压力的最小值．
（3）通过平抛运动的规律求出赛车通过B点的速度，从而确定通过B点的最小速度，根据动能定理求出要使赛车完成比赛，电动机至少工作的时间．

解答 解：（1）设赛车恰好到达最高点时速度为v′₁．根据牛顿第二定律得，mg=m$\frac{{v}_{1}^{′2}}{R}$，则得 v′₁=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.32}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$m/s
所以赛车在竖直圆轨道最高点速度至少为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$m/s．
（2）赛车从B到竖直圆轨道最高点的过程，根据动能定理得
-mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{′2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得，赛车要通过圆轨道最高点到达B点的速度至少为 v₁=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.32}$=4m/s
在B点，由牛顿第二定律得
    N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
联立得 N=6mg=6×0.1×10=6N
由牛顿第三定律得知，在竖直圆轨道最低点B赛车对轨道压力至少为 N′=N=6N
（3）赛车恰好能越过壕沟时，根据平抛运动规律有
   h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}$=0.5s
则平抛运动的初速度 v₂=$\frac{s}{t}$=$\frac{1.5}{0.5}$=3m/s．
综上，为保证越过壕沟，到达B点的速度至少为 v₁=4m/s
因此赛车到达B点的速度至少为：v=v₁=4m/s
从A到B对赛车用动能定理：
    Pt′-fL=$\frac{1}{2}$mv₁²
解得 t′=2.54s
答：
（1）在竖直圆轨道最高点速度至少为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$m/s．
（2）在竖直圆轨道最低点B赛车对轨道压力至少为4m/s．
（3）电动机至少工作2.54s时间．

点评 解决本题的关键要把握圆周运动最高点的临界条件：重力等于向心力．掌握平抛运动的规律，在已知水平距离和下落高度时，要求得平抛运动的初速度．