Question

12．如图，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R的半圆，两段轨道相切于B点，一不带电的绝缘小球甲，以速度v₀沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞，两球碰撞结束同时加上一个足够大水平向右的匀强电场E，乙恰能通过轨道的最高点D，已知甲、乙两球的质量均为m，乙所带电荷量q，重力加速度为g．（水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移）求：
（1）乙在D点速度大小及在与圆心O等高的C点处对轨道的压力大小；
（2）甲的速度v₀．

Answer 1

分析 （1）据乙球恰好通过最高点，利用牛顿第二定律求出D点的速度；再据动能定理求出C点的速度，据牛顿第二定律求出轨道的压力．（2）据动能定理求出乙球的速度，再据动量定理和能量守恒求出甲的速度．

解答 解：（1）由于乙球恰能通过D点，所以有：mg=$\frac{m{v}_{D}^{2}}{R}$
所以：v_D=$\sqrt{gR}$
以C到D过程，利用动能定理：-Eq-mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$
在C点据牛顿第二定律得：F-Eq=$\frac{m{v}_{c}^{2}}{R}$
据牛顿第三定律可知，F′=$\frac{2Eq+EqR}{R}$+3mg
（2）再以乙球从B到C利用动能定理得：-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
据题意知甲乙两球的质量相等，且为弹性碰撞，所以甲乙碰撞甲球静止，乙球以甲的速度运动，
所以有：v₀=v_B=$\sqrt{5gR}$
答：1）乙在D点速度大小$\sqrt{gR}$及在与圆心O等高的C点处对轨道的压力大小$\frac{2Eq+EqR}{R}$+3mg；
（2）甲的速度$\sqrt{5gR}$．

点评 首先分析清楚两球的运动情况和受力情况，灵活利用乙球恰能通过最高点；注意动能定理的应用和重力与电场力做功的特点；注意等同质量小球的弹性碰撞（一球静止），交换速度．