Question

如图所示，一圆柱形薄壁玻璃缸内注满了水，一根长度恰好等于玻璃缸内径的双色细棒平放于缸底，棒的左半部为绿色，右半部为红色，在缸外沿棒所在的径向（略高一点）观察棒的长度，则（　　）

A．红色部分比绿色部分长

B．红色部分与绿色部分一样长

C．红色部分比绿色部分短

D．不能判断两部分的长短关系

Answer 1

分析：本题应该考虑用公式列式分析．由折射球面成像公式、垂轴放大率和轴向放大率结合进行分析．

解答：解：比较红绿的长短实际上就是找出轴向放大率α随物距的变化关系，α越大，物体越长，反之越短．
设光路自左向右传播为正，则缸半径为r（r＜0），物距为l（l＜0），像距为l′，物方折射率为水的折射率n=1.33，像方则为空气的折射率 n′=1．
从上往下看，折射面为圆弧面，由折射球面成像公式

n′

l′

-

n

l

=

n′-n

r

得，

l′

n′

=

lr

(n′-n)l+nr

，所以垂轴放大率 β=

nl′

n′l

=

nr

(n′-n)l+nr

．
故轴向放大率 α=

n′

n

β2=

nn′r2

[(n′-n)l+nr]2

，可以看出此式中除了α和l，其余都是常数，即α是l的函数．
令y=[（n′-n）l+nr]²，讨论其单调性，其对称轴为 l=

nr

n-n′

≈4r，开口向上，也就是说当l＞4r时，随着l的增大，y增大，α减小．
很明显，无论是红棒还是绿棒，其物距的绝对值都小于2r，即物距l＞2r＞4r（因为r小于0），且红棒比绿棒的物距还要大些（绝对值小），由前面的单调性分析知，红棒的轴向放大率比绿棒的小，所以红棒比绿棒短．故C正确．
故选：C

点评：本题是竞赛问题，超出了中学范围，应根据大学物理知识列式分析．