Question

18．如图所示的区域中，左边为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B，右边是一个电场强度大小未知的匀强电场，其方向平行于OC且垂直于磁场方向．一个质量为m，电荷量为q的带电粒子从P孔以初速度v₀沿垂直于磁场方向进入匀强磁场中，初速度方向与边界线的夹角θ=60°，粒子恰好从C孔垂直于OC射入匀强电场，最后打在Q点，且OQ间距是OC间距的2倍，不计粒子重力．求：
（1）电场强度E的大小
（2）粒子从P运动到Q所用的时间t
（3）粒子到达Q点时的动能E_KQ．

Answer 1

分析 （l）粒子在竖直方向上做的是匀加速直线运动，根据粒子匀加速运动的位移可以求得匀强电场的场强的大小；
（2）粒子在磁场中做的是匀速圆周运动，在电场中粒子做的是类平抛运动，根据粒子的运动的轨迹可以求得粒子的运动的时间；
（3）整个过程中只有电场力做功，根据动能定理可以求得粒子的到达Q点的动能的大小．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动$\overline{CO}=\frac{1}{2}at_2^2=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}t_2^2$
$\overline{OQ}$=v₀t₂                 
由题意可知$\overline{OQ}=2\overline{CO}=2x$
联立解得$E=\frac{1}{3}B{v_0}$
（2）画出粒子运动的轨迹如图示的三分之一圆弧
（O₁为粒子在磁场中圆周运动的圆心）：∠PO₁C=120°
设粒子在磁场中圆周运动的半径为r，
则$q{v_0}B=m\frac{{{v_0}^2}}{r}$
r+rcos 60°=OC=x   
所以 OC=x=$\frac{3}{2}$r 
粒子在磁场中圆周运动的时间t₁=$\frac{1}{3}T$=$\frac{2πm}{3Bq}$
粒子在电场中类平抛运动 
OQ=2x=3r
t₂=$\frac{2x}{{v}_{0}}$=$\frac{3r}{{v}_{0}}$=$\frac{3m}{qB}$
粒子从P运动到Q所用的时间t=t₁+t₂=$\frac{2πm}{3Bq}$+$\frac{3m}{qB}$ 
（3）由动能定理E_k-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$=qEx    
解得粒子到达Q点时的动能为E_KQ=mv₀²
答：（1）电场强度E的大小$\frac{1}{3}$Bv₀；
（2）粒子从P运动到Q所用的时间t=$\frac{2πm}{3Bq}$+$\frac{3m}{qB}$；
（3）粒子到达Q点时的动能E_KQ=mv₀²．

点评 粒子先做的是匀速圆周运动，后在电场中做类平抛运动，根据匀速圆周运动和类平抛运动的规律可以分别求得．