Question

平行金属板M、N间距离为d．其上有一内壁光滑的半径为R的绝缘圆筒与N板相切，切点处有一小孔S．圆筒内有垂直圆筒截面方向的匀强磁场，磁感应强度为B．电子与孔S及圆心O在同一直线上．M板内侧中点处有一质量为m，电荷量为e的静止电子，经过M、N间电压为U的电场加速后射入圆筒，在圆筒壁上碰撞n次后，恰好沿原路返回到出发点．（不考虑重力，设碰撞过程中无动能损失）求：
（1）电子到达小孔S时的速度大小；
（2）电子第一次到达S所需要的时间；
（3）电子第一次返回出发点所需的时间．

Answer 1

分析：（1）对直线加速过程，运用动能定理列式求解电子到达小孔S时的速度大小．
（2）电子在从M到N做匀加速直线运动，由牛顿第二定律求得加速度，由运动学公式求解电子第一次到达S所需要的时间．
（3）电子在圆筒内经过n次碰撞回到S，根据几何知识求出每段轨迹圆弧对应的圆心角，结合周期，即可求得电子在磁场中运动的时间，即求得电子运动时间的总时间．

解答：解：（1）设加速后获得的速度为v，根据 eU=

1

2

m

v

2

解得：v=

2eU m

（2）设电子从M到N所需时间为t₁
则：d=

1

2

a

t

2 1

=

1

2

×

eU

mL

t

2 1

解得：t1=d

2m eU

（3）电子在磁场做圆周运动的周期为 T0=

2πm

eB

电子在圆筒内经过n次碰撞回到S，每段圆弧
对应的圆心角
 θ₁=π-

2π

n+1

n次碰撞对应的总圆心角
θ=（n+1）θ₁=（n+1）π-2π=（n-1）π                  
在磁场内运动的时间为t₂，
 t2=

θ

2π

T0=

(n-1)π

2π

×

2πm

eB

=

(n-1)mπ

eB

 t=2t1+t2=2d

2m eU

+

(n-1)mπ

eB

（n=1，2，3，…）
答：
（1）电子到达小孔S时的速度大小为

2eU m

；
（2）电子第一次到达S所需要的时间为d

2m eU

；
（3）电子第一次返回出发点所需的时间为2d

2m eU

+

(n-1)mπ

eB

（n=1，2，3…）．

点评：本题关键明确带电粒子的运动规律，画出运动轨迹，然后根据几何关系求解出半径，再根据动能定理和牛顿第二定律列式求解，属于难题．