Question

如图，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁光滑、半径为r的细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数为k的轻弹簧，轻弹簧下端固定，上端恰好与管口D端齐平．质量为m的小球在曲面上距BC的高度为2r处从静止开始下滑，进入管口C端时与管壁间恰好无作用力，通过CD后压缩弹簧，在压缩弹簧过程中速度最大时弹簧的弹性势能为E_P，已知小球与BC间的动摩擦因数μ=0.5．求：
（1）小球达到B点时的速度大小v_B；
（2）水平面BC的长度s；
（3）在压缩弹簧过程中小球的最大速度v_m．

Answer 1

分析：（1）A到B的过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律求出小球到达B点的速度大小．
（2）根据牛顿第二定律求出小球在C点时的速度，根据动能定理求出水平面BC的长度．
（3）当小球重力和弹簧弹力相等时，小球的速度最大，根据功能关系求出小球的最大速度．

解答：解：（1）由机械能守恒得：mg?2r=

1

2

mv_B²
解得：v_B=2

gr

（2）在C点对管壁无压力，根据牛顿第二定律有：
mg=m

vc2

r

解得得：v_C=

gr

对A到C段运用动能定理得：mg?2r-μmgs=

1

2

mv_C²
解得：s=3r
（3）设在压缩弹簧过程中小球速度最大时离D端的距离为x，
则有：kx=mg
解得：x=

mg

k

由功能关系得：mg（r+x）-E_P=

1

2

mv_m²-

1

2

mv_C²
得：v_m=

3gr+ 2mg2 k - 2Ep m

．
答：（1）小球达到B点时的速度大小为2

gr

（2）水平面BC的长度为3r．
（3）在压缩弹簧过程中小球的最大速度为

3gr+ 2mg2 k - 2Ep m

．

点评：本题综合运用了机械能守恒定律、动能定理、功能关系以及牛顿第二定律，综合性较强，是高考的热点题型，需加强这方面的训练．