Question

7．光滑水平面上放着质量为m=2kg的小球（可视为质点），小球与墙之间夹着一个轻弹簧，弹簧一端固定在墙上，另一端与小球不拴接．现将小球推至A处静止不动，此时弹簧弹性势能为E_p=49J，如图所示．放手后小球向左运动，到达轨道最低点B之前已经与弹簧分离．之后冲上与水平面相切的竖直半圆粗糙轨道，其半径R=0.4m，小球恰能运动到最高点C．取重力加速度g=10m/s²，求
（1）小球离开弹簧前弹簧的弹力对小球的冲量I的大小；
（2）小球运动到轨道最低点时对轨道的压力N_B；
（3）小球在竖直轨道上运动过程中克服摩擦力做的功W_f．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律求出小球离开弹簧时的速度，然后应用动量定理求出冲量．
（2）小球做圆周运动，应用牛顿第二定律可以求出轨道对小球的作用力，然后应用牛顿第三定律可以求出小球对轨道的作用力．
（3）应用动能定理可以求出小球克服摩擦力做功．

解答 解：（1）设小球与弹簧分离时的速度为v，小球和弹簧构成系统在弹簧恢复原长过程中机械能守恒，
由机械能守恒定律得：E_P=$\frac{1}{2}$mv²，代入数据解得：v=7m/s，
小球与弹簧分离前，由动量定理得：I=mv-0，代入数据解得：解得：I=14N•s；
（2）小球脱离弹簧后在水平面上做匀速运动，到达B点时速度：v_B=v=7m/s，
在轨道最低点B处，对小球由牛顿第二定律得：${N_B}-mg=m\frac{v_B^2}{R}$，
代入数据解得：N_B=265N，
由牛顿第三定律可知，小球对轨道压力大小为：265N，方向竖直向下；
（3）小球恰好到达C点，此时的速度为v_C，
在C点由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，代入数据解得：v_C=2m/s，
小球从B到C过程，由动能定理得：-mg•2R-W_f=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²，
代入数据解得：W_f=29J；   
答：（1）小球离开弹簧前弹簧的弹力对小球的冲量I的大小为14N•s；
（2）小球运动到轨道最低点时对轨道的压力N_B为265N，方向竖直向下；
（3）小球在竖直轨道上运动过程中克服摩擦力做的功W_f为29J．

点评 本题考查了求冲量、作用力与克服摩擦力做功问题，分析清楚小球的运动过程，应用机械能守恒定律、动量定理、牛顿第二定律与动能定理即可正确解题．