Question

6．如图所示，固定在竖直平面内的轨道由三部分组成：光滑曲线轨道AB，其B端的切线沿水平方向；水平的平直轨道BC，其右端在B点与曲线轨道平滑连接；半圆形轨道CD，其直径CD沿竖直方向，且C端与平直轨道平滑连接，整个轨道处于竖直平面内．已知BC轨道的长度L=0.64m，半圆形轨道的半径R=0.10m．现有一质量m₁=0.16kg的小滑块1从曲线轨道距B端高h=0.80m处由静止下滑，并与静止在B点的、质量m₂=0.04kg的小滑块2发生碰撞，碰撞后两滑块立即粘在一起运动．当两个小滑块一起运动到C点时的速度大小v_C=3.0m/s，已知两个小滑块均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度取g=10m/s²．求：
（1）小滑块1与小滑块2碰撞前瞬间的速度大小；
（2）小滑块1与小滑块2碰撞后瞬间的速度大小；
（3）小滑块1与小滑块2碰撞过程中损失的动能；
（4）两小滑块一起运动过程中与BC轨道间的动摩擦因数；
（5）两小滑块一起运动到半圆形轨道的C点时，对半圆形轨道的压力；
（6）若半圆形轨道光滑，两小滑块运动到D点时的速度大小；
（7）若半圆形轨道光滑，两小滑块运动到D点时对半圆形轨道的压力； 
（8）若半圆形轨道光滑，两小滑块通过半圆形轨道后落在BC轨道上的第一落点到C点的距离；
（9）若半圆形轨道不光滑，且两小滑块恰好能通过D点，求两小滑块通过半圆形轨道的过程中克服摩擦阻力所做的功；
（10）若半圆形轨道不光滑，两小滑块通过半圆形轨道D后落在BC轨道上的第一落点到C点的距离范围．

Answer 1

分析 （1）小滑块1从曲线轨道下滑到B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律求解小滑块1与小滑块2碰撞前瞬间的速度大小．
（2）小滑块1与小滑块2碰撞过程，根据动量守恒定律求解碰撞后瞬间的速度大小．
（3）根据能量守恒定律求碰撞过程中损失的动能；
（4）两小滑块一起从B到C的运动过程，运用动能定理求BC轨道间的动摩擦因数；
（5）在C点，由合力提供向心力，由牛顿运动定律求两滑块对半圆形轨道的压力；
（6）两小滑块一起从C运动到半圆形轨道C点的过程，由机械能守恒定律求两小滑块运动到D点时的速度大小；
（7）若半圆形轨道光滑，两小滑块运动到D点时由合力提供向心力，由牛顿定律求两滑块对半圆形轨道的压力； 
（8）若半圆形轨道光滑，两小滑块通过半圆形轨道后做平抛运动，由平抛运动的规律求落在BC轨道上的第一落点到C点的距离；
（9）若半圆形轨道不光滑，且两小滑块恰好能通过D点，由重力提供向心力，由此求得D点的临界速度，再由动能定理求两小滑块通过半圆形轨道的过程中克服摩擦阻力所做的功；
（10）若半圆形轨道不光滑，两小滑块通过半圆形轨道D后，由平抛运动的规律求落在BC轨道上的第一落点到C点的距离范围．

解答 解：（1）小滑块1从曲线轨道下滑到B的过程中，由机械能守恒定律得：
   m₁gh=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$
可得 v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.80}$=4.0m/s
（2）小滑块1与小滑块2碰撞过程，取向左为正方向，根据动量守恒定律得
    m₁v₀=（m₁+m₂）v₁．
可得小滑块1与小滑块2碰撞后瞬间的速度 v₁=3.2m/s
（3）小滑块1与小滑块2碰撞过程中损失的动能△E_k=$\frac{1}{2}$m₁v₀²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₁²．
代入数据解得△E_k=0.256J
（4）设两小滑块一起运动过程中与BC轨道间的动摩擦因数为μ．
两小滑块一起从B到C的运动过程，运用动能定理得：
-μ（m₁+m₂）gL=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_C²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₁²．
解得 μ≈0.10
（5）在C点，以两滑块整体为研究对象，由牛顿第二定律得
  N_C-（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 N_C=20N
由牛顿第三定律知，两小滑块运动到C点时对半圆形轨道的压力大小为20N，方向竖直向下．
（6）两小滑块一起从C运动到半圆形轨道C点的过程，由机械能守恒定律得
   2（m₁+m₂）gR+$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_D²=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_C²．
解得 v_D=2.2m/s
（7）在D点，以两滑块整体为研究对象，由牛顿第二定律得
  N_D+（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得 N_D=8.0N
由牛顿第三定律知，两小滑块运动到D点时对半圆形轨道的压力大小为8.0N，方向竖直向上．
（8）两小滑块通过半圆形轨道后做平抛运动，则有
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   x=v_Dt
联立解得 x=0.2$\sqrt{5}$m≈0.45m
（9）若半圆形轨道不光滑，且两小滑块恰好能通过D点，在D点，有 （m₁+m₂）g=（m₁+m₂）$\frac{{v}_{D}^{′2}}{R}$
由动能定理得：-2（m₁+m₂）gR-W_f=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_D′²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_C²．
解得 W_f=0.40J
（10）若半圆形轨道不光滑，且两小滑块恰好能通过D点，则有
     x′=v_′Dt
解得 x′=0.2m
所以所求的范围为：0.2m≤x≤0.45m．
答：
（1）小滑块1与小滑块2碰撞前瞬间的速度大小为4.0m/s．
（2）小滑块1与小滑块2碰撞后瞬间的速度大小是3.2m/s．
（3）小滑块1与小滑块2碰撞过程中损失的动能是0.256J．
（4）两小滑块一起运动过程中与BC轨道间的动摩擦因数是0.10．
（5）两小滑块一起运动到半圆形轨道的C点时，对半圆形轨道的压力是20N．
（6）两小滑块运动到D点时的速度大小是2.2m/s．
（7）两小滑块运动到D点时对半圆形轨道的压力是8.0N．
（8）两小滑块通过半圆形轨道后落在BC轨道上的第一落点到C点的距离是0.45m．
（9）两小滑块通过半圆形轨道的过程中克服摩擦阻力所做的功是0.40J．
（10）距离范围为0.2m≤x≤0.45m．

点评 本题是机械能定律、动能定理、牛顿第二定律和平抛运动规律的综合应用，关键要把握滑块到达D点的临界条件：重力等于向心力．