题目内容

6.人造地球卫星的质量为m,环绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r,卫星距地球表面的高度为h,已知地球半径为R,地球质量为M,万有引力常量为G,求:
(1)此卫星左匀速圆周运动的向心力;
(2)此卫星的加速度;
(3)此卫星的线速度;
(4)此卫星的角速度;
(5)此卫星的环绕周期
(6)什么样的人造地球卫星线速度最大?最大线速度是多少?
(7)什么样的人造地球卫星向心加速度最大?最大加速度是多少?
(8)什么样的人造地球卫星环绕周期最小?你知道最小周期的具体数值吗?

分析 由万有引力提供向心力列等式:ma=$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$=mrω2 =mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$分别求得各量的表达式,从而确定最值条件,求得最值.

解答 解:(1)向心力:F=$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$
  (2)卫星的加速度:ma=$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$,得:a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
     (3)万有引力提供向心力:$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$,得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
     (4)万有引力提供向心力:$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mrω2,得ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
     (5)万有引力提供向心力:$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$,得T=2$π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
  (6)由v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$知半径最小的线速度最大,为${v}_{max}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
    (7)由a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$知半径小最小的加速度最大,为${a}_{max}=\frac{GM}{{R}^{2}}$
    (8)由T=2$π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$可知半径最小的周期最小,则Tmin=$π\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$  其值约为84分钟.
答:(1)此卫星左匀速圆周运动的向心力为$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$
(2)此卫星的加速度为$\frac{GM}{{r}^{2}}$
(3)此卫星的线速度为$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
(4)此卫星的角速度为$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
(5)此卫星的环绕周期为2$π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
(6)半径最小的人造地球卫星线速度最大,最大线速度是$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
(7)半径最小的人造地球卫星向心加速度最大,最大加速度是$\frac{GM}{{R}^{2}}$
(8)半径最小的人造地球卫星环绕周期最小,最小周期的具体数值为84分钟.

点评 解决本题的关键掌握卫星绕地球做圆周运动靠万有引力提供向心力.不难.

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