Question

8．已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R₀，地球自转的角速度为ω₀．一颗在赤道上空运行的人造卫星，其距离地面高度为2R₀，卫星的运转方向与地球的自转方向相同． 
（1）求该卫星运行的角速度；
（2）若某时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它至少经过多长时间再次通过该建筑物的正上方？

Answer 1

分析 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，根据牛顿运动定律求解卫星的角速度．
卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在建筑物上空．

解答 解：（1）绕地球运行的卫星，地球对卫星的万有引力提供向心力，设卫星的角速度为ω，$G\frac{Mm}{（3{R}_{0}^{\;}）_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}（3{R}_{0}^{\;}）$      且  $G\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}=mg$
解得：$ω=\sqrt{\frac{g}{27{R}_{0}^{\;}}}$
（2）设经过时间t卫星再次通过建筑物上方，根据几何关系有：
（ω-ω₀）t=2π        
联立解得：$t=\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{27{R}_{0}^{\;}}}-{ω}_{0}^{\;}}$
答：（1）该卫星运行的角速度$\sqrt{\frac{g}{27{R}_{0}^{\;}}}$；
（2）若某时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，它至少经过$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{27{R}_{0}^{\;}}}-{ω}_{0}^{\;}}$时间再次通过该建筑物的正上方

点评 本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力．第（2）问对于建筑物与卫星的角速度大小关系不能，可将卫星与同步卫星相比较得到．