Question

10．由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G．“蛟龙”下潜深度为d，天宫一号轨道距离地面高度为h．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．求
（1）“天宫一号”绕地心转一周的时间是多少？
（2）“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为多少？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力即可求出“天宫一号”的周期；
（2）根据题意知，地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度，深度为d的地球内部的重力加速度相当于半径为R-d的球体在其表面产生的重力加速度，根据地球质量分布均匀得到加速度的表达式，再根据半径关系求解深度为d处的重力加速度与地面重力加速度的比值．卫星绕地球做圆周运动时，运用万有引力提供向心力可以解出高度为h处的加速度，再求其比值．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=\frac{m4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
地球表面的物体受到的万有引力等于重力，即：
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
联立解得：T=$2π\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$
（2）令地球的密度为ρ，对地球表面的物体：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
由于地球的质量为：M=ρ•$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，所以重力加速度的表达式可写成：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{G•ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{{R}^{2}}$=$\frac{4}{3}$πGρR．
根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}=m{g}_{1}$，“天宫一号”的加速度为${g}_{1}=\frac{GM}{{（R+h）}^{2}}$
$\frac{{g}_{1}}{g}=\frac{{R}^{2}}{{（R+h）}^{2}}$
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力，故海底的重力加速度g₂=$\frac{4}{3}$πGρ（R-d）．
所以有$\frac{{g}_{2}}{g}=\frac{R-d}{R}$
所以$\frac{{g}_{2}}{{g}_{1}}=\frac{（R-d）{（R+h）}^{2}}{{R}^{3}}$，
答：（1）“天宫一号”绕地心转一周的时间是$2π\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$；
（2）“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为$\frac{（R-d）{（R+h）}^{2}}{{R}^{3}}$．

点评 抓住在地球表面重力和万有引力相等，在地球内部，地球的重力和万有引力相等，要注意在地球内部距离地面d处所谓的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为（R-d）的球体的质量．