Question

如图所示，半径为R的光滑半圆轨道ABC与倾角为θ=37°的粗糙斜面轨道DC相切于C，圆轨道的直径AC与斜面垂直．质量为m的小球从A点左上方距A高为h的斜面上方P点以某一速度水平抛出，刚好与半圆轨道的A点相切进入半圆轨道内侧，之后经半圆轨道沿斜面刚好滑到与抛出点等高的D处．已知当地的重力加速度为g，取R=

50

9

h，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力，求：
（1）小球被抛出时的速度v₀；
（2）小球到达半圆轨道最低点B时，对轨道的压力大小；
（3）小球从C到D过程中摩擦力做的功W．

Answer 1

分析：（1）小球从P到A过程做平抛运动，由运动学公式求出小球经过A点时竖直方向分速度，作出速度分解图，即可求得小球被抛出时的速度v₀；
（2）从抛出点到B过程中，只有重力做功，机械能守恒，即可求出小球到达B点时的速度．在B点，由重力和轨道支持力的合力充当向心力，由牛顿第二定律、第三定律求解小球对轨道的压力大小；
（3）对于整个运动过程，重力做功为零，根据动能定理求解小球从C到D过程中摩擦力做的功W．

解答：解：（1）小球到达A点时，速度与水平方向的夹角为θ，如图所示．
则有 

v

2 1

=2gh  ①
由几何关系得 v₀=v₁cotθ  ②
得 v0=

4

3

2gh

  ③
（2）A、B间竖直高度H=R（1+cosθ）④
设小球到达B点时的速度为v，则从抛出点到B过程中，根据机械能守恒有 
  

1

2

m

v

2 0

+mg(H+h)=

1

2

mv2 ⑤
在B点，有 FN-mg=m

v2

R

⑥
联立解得 F_N=5.6mg⑦
由牛顿第三定律知，小球在B点对轨道的压力大小是F_N′=F_N=5.6mg，方向竖直向下．             ⑧
（3）整个运动知过程中，重力做功为零，根据动能定理得知：小球沿斜面上滑过程中摩擦力做的功等于小球做平抛运动的初动能，有
   W=

1

2

m

v

2 0

=

16

9

mgh  ⑨
答：（1）小球被抛出时的速度v₀是

4

3

2gh

．
（2）小球到达半圆轨道最低点B时，对轨道的压力大小是5.6mg，方向竖直向下．
（3）小球从C到D过程中摩擦力做的功W是

16

9

mgh．

点评：小球在轨道之前做的是平抛运动，在斜面上时小球做匀减速直线运动，根据不同的运动的过程，分段求解即可．