Question

19．一倾角为45°的固定绝缘斜面，顶端固定一轻小定滑轮，斜面一侧长度为h的范围内有垂直于斜面向上，磁感应强度大小为B的匀强磁场，如图所示，两细金属棒ab（图中仅标出a端）和cd（图中仅标出c端）长度均为L，质量分别为m和$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连接成闭合回路abdca，并通过斜面顶端的定滑轮把cd放在斜面上，ab悬空，使两细金属棒ab、cd水平．已知两根导线刚好不在磁场中，每根金属棒的电阻均为R，柔软轻导线电阻不计；金属棒cd与斜面之间的动摩擦因数为0.5．释放金属棒ab，当金属棒ab刚好下落到距离水平面高度为h时，金属棒cd进入磁场区域并刚好做匀速运动．求：
（1）作用在金属棒cd上的安培力；
（2）金属棒cd离开磁场区域后继续沿斜面上升的最大距离．

Answer 1

分析 （1）抓住金属棒做匀速直线运动，分别对ab棒和cd棒，运用共点力平衡求出作用在cd上的安培力．
（2）根据安培力的表达式，求出cd棒离开磁场时的速度，结合牛顿第二定律继续上滑的加速度大小，根据速度位移公式求出上升的最大距离．

解答 解：（1）当金属棒ab刚好下落到距离水平面高度为h时，金属棒cd进入磁场区域并刚好做匀速运动，
根据平衡有：$2T=\frac{\sqrt{2}}{2}mgsin45°+{F}_{A}+μ\frac{\sqrt{2}}{2}mgcos45°$，
对ab棒有：2T=mg，
代入数据解得cd棒所受的安培力为：F_A=$\frac{1}{4}mg$．
（2）根据${F}_{A}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$得金属棒cd离开磁场时的速度为：v=$\frac{mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$，
cd棒离开磁场时，ab棒刚好落地，对cd棒分析，根据牛顿第二定律得：$a=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}mgsinθ+μ\frac{\sqrt{2}}{2}mgcosθ}{\frac{\sqrt{2}}{2}m}$=$\frac{3\sqrt{2}g}{4}$，
则金属棒cd离开磁场区域后继续沿斜面上升的最大距离为：x=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{\sqrt{2}{m}^{2}g{R}^{2}}{12{B}^{4}{L}^{4}}$．
答：（1）作用在金属棒cd上的安培力为$\frac{1}{4}mg$；
（2）金属棒cd离开磁场区域后继续沿斜面上升的最大距离为$\frac{\sqrt{2}{m}^{2}g{R}^{2}}{12{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题考查了电磁感应与力学的综合，掌握安培力的经验表达式${F}_{A}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$，运用共点力平衡、牛顿第二定律和运动学公式综合求解．