Question

6．如图所示为某木材厂的木材传送装置，斜坡倾角为θ=30°，长为L=20m，斜坡上紧排着一排轻质滚筒，工作时由电动机带动所有滚筒顺时针匀速转动，滚筒边缘的线速度均为v=5m/s，现将一块长为1=5m，质量为m=20kg的木板轻轻放在轻质滚筒上，其下端a位于斜坡底端，木板与滚筒间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，木板在滚筒带动下由静止开始沿斜坡向上移动．假设关闭电动机的瞬间所有滚筒立即停止转动．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）木板从坡底开始运动，直到b端到达坡顶所需的最短时间；
（2）板从坡底开始运动，直到b端到达坡顶的过程中电动机对滚筒做功的最小值．

Answer 1

分析 （1）欲使木板b端到达坡顶所需要的时间最短，需要电动机一直工作，则木板先做匀加速直线运动，当它的速度等于滚筒边缘的线速度后，做匀速直线运动．由牛顿第二定律和运动学公式结合求解．
（2）先对木板加速和减速阶段受力分析，求出加速度，再对恰好滑到最高点的临界情况运用运动学公式和动能定理结合列式求解．

解答 解：（1）木料开始运动时做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得：μmgcosθ-mgsinθ=ma₁ ②，
得：a₁=g（μcosθ-sinθ）=2.5 m/s²
木板做匀加速运动到速度与滚筒边缘的线速度速度的时间：t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{5}{2.5}$s=2s
通过的位移：x₁=$\frac{v}{2}{t}_{1}$=$\frac{5}{2}×2$m=5m
要使b端到达坡顶所需要的时间最短，需要电动机一直工作，木板先做匀加速直线运动，当它的速度等于滚筒边缘的线速度后做匀速直线运动．
木板做匀速直线运动的位移：x₂=L-l-x₁=20-5-5=10m
做匀速直线运动的时间：t₂=$\frac{{x}_{2}}{v}$=$\frac{10}{5}$s=2s
所需最短时间 t=t₁+t₂=4s；
（2）最后一段运动关闭发动机，木板匀减速上升：μmgcosθ+mgsinθ=ma₂，
代入数据得：a₂=g（μcosθ+sinθ）=12.5 m/s²，
匀减速运动时间：t₃=$\frac{v}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{12.5}$s=0.4s
匀减速运动的位移：x₃=$\frac{1}{2}$vt₃=$\frac{1}{2}×$5×0.4m=1m
匀速运动的位移 x₂′=L-l-x₁-x₃=20-5-5-1=9m
由动能定理得：W_f-mg（x₁+x₂′）sinθ=$\frac{1}{2}$mv²；
代入数据求得；W_f=1650J
即电动机对滚筒做功的最小值是1650J．
答：
（1）木板从坡底开始运动，直到b端到达坡顶所需的最短时间是4s；
（2）板从坡底开始运动，直到b端到达坡顶的过程中电动机对滚筒做功的最小值是1650J．

点评 本题关键是对木块受力分析，判断其运动情况，再根据牛顿第二定律求出加速度，然后运用运动学公式列式研究．