题目内容
如图所示为回旋加速器的示意图．它由两个铝制D型金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条狭缝，两个D型盒处在匀强磁场中并接在高频交变电源上．在D1盒中心A处有离子源，它产生并发出的a粒子，经狭缝电压加速后，进入D2盒中．在磁场力的作用下运动半个圆周后，再次经狭缝电压加速．为保证粒子每次经过狭缝都被加速，设法使交变电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致．如此周而复始，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达D型盒的边缘，以最大速度被导出．已知a粒子电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，设狭缝很窄，粒子通过狭缝的时间可以忽略不计，设a粒子从离子源发出时的初速度为零．（不计a粒子重力）求：（1）a粒子第一次被加速后进入D2盒中时的速度大小；
（2）a粒子被加速后获得的最大动能Ek和交变电压的频率f
（3）a粒子在第n次由D1盒进入D2盒与紧接着第n+1次由D1盒进入D2盒位置之间的距离△x．
分析：（1）根据动能定理求出粒子被第一次加速后的速度．
（2）a粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，利用牛顿第二定律求出轨道的半径，当粒子的轨道半径等于D型盒的半径R时，动能最大．根据圆周运动的公式求解粒子圆周运动的频率．粒子要被不断加速，交变电压的频率f必须等于粒子圆周运动的频率．
（3）回旋加速器是利用电场加速和磁场偏转来加速粒子，根据动能定理求出n次加速后的速度，求出轨道半径，抓住规律，求出△x．
（2）a粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，利用牛顿第二定律求出轨道的半径，当粒子的轨道半径等于D型盒的半径R时，动能最大．根据圆周运动的公式求解粒子圆周运动的频率．粒子要被不断加速，交变电压的频率f必须等于粒子圆周运动的频率．
（3）回旋加速器是利用电场加速和磁场偏转来加速粒子，根据动能定理求出n次加速后的速度，求出轨道半径，抓住规律，求出△x．
解答：
解：（1）设α粒子第一次被加速后进入D2盒中时的速度大小为v1，根据动能定理有
qU=
m
解得，v1=
（2）α粒子在D形盒内做圆周运动，轨道半径达到最大时被引出，具有最大动能．设此时的速度为v，有
qvB=
解得：v=
设α粒子的最大动能为Ek，则
Ek=
mv2
解得：Ek=
设交变电压的周期为T、频率为f，为保证粒子每次经过狭缝都被加速，带电粒子在磁场中运动一周的时间应等于交变电压的周期（在狭缝的时间极短忽略不计），则
交变电压的频率T=
=
由f=
得
则交变电压的频率f=
（3）离子经电场第1次加速后，以速度v1进入D2盒，设轨道半径为r1
则 r 1=
=
离子经第2次电场加速后，以速度v2进入D1盒，设轨道半径为r2
则 r 2=
=
离子第n次由D1盒进入D2盒，离子已经过（2n+1）次电场加速，以速度v2n+1进入D2盒，由动能定理：
（2n+1）Uq=
轨道半径 rn=
=
离子经第n+1次由D1盒进入D2盒，离子已经过2n+2次电场加速，以速度v2n+2进入D1盒，由动能定理：
（2n+2）Uq=
m
轨道半径：rn+1=
=
则△x=2（rn+1-rn）（如图所示）
解得，△x=2（
-
）=
（
-
）
答：（1）a粒子第一次被加速后进入D2盒中时的速度大小是
；
（2）a粒子被加速后获得的最大动能Ek是
，交变电压的频率f是
；
（3）a粒子在第n次由D1盒进入D2盒与紧接着第n+1次由D1盒进入D2盒位置之间的距离△x是
（
-
）．
解：（1）设α粒子第一次被加速后进入D2盒中时的速度大小为v1，根据动能定理有qU=
| 1 |
| 2 |
| v | 2 1 |
解得，v1=
|
（2）α粒子在D形盒内做圆周运动，轨道半径达到最大时被引出，具有最大动能．设此时的速度为v，有
qvB=
| mv2 |
| R |
解得：v=
| qBR |
| m |
设α粒子的最大动能为Ek，则
Ek=
| 1 |
| 2 |
解得：Ek=
| q2B2R2 |
| 2m |
设交变电压的周期为T、频率为f，为保证粒子每次经过狭缝都被加速，带电粒子在磁场中运动一周的时间应等于交变电压的周期（在狭缝的时间极短忽略不计），则
交变电压的频率T=
| 2πR |
| v |
| 2πm |
| Bq |
由f=
| 1 |
| T |
则交变电压的频率f=
| Bq |
| 2πm |
（3）离子经电场第1次加速后，以速度v1进入D2盒，设轨道半径为r1
则 r 1=
| mv2 |
| qB |
| 1 |
| B |
|
离子经第2次电场加速后，以速度v2进入D1盒，设轨道半径为r2
则 r 2=
| mv2 |
| qB |
| 1 |
| B |
|
离子第n次由D1盒进入D2盒，离子已经过（2n+1）次电场加速，以速度v2n+1进入D2盒，由动能定理：
（2n+1）Uq=
| 1 |
| 2 |
| mv | 2 2n+1 |
轨道半径 rn=
| mv2n+1 |
| qB |
| 1 |
| B |
|
离子经第n+1次由D1盒进入D2盒，离子已经过2n+2次电场加速，以速度v2n+2进入D1盒，由动能定理：
（2n+2）Uq=
| 1 |
| 2 |
| v | 2 2n+2 |
轨道半径：rn+1=
| mv2n+2 |
| qB |
| 1 |
| B |
|
则△x=2（rn+1-rn）（如图所示）
解得，△x=2（
| mv2n+2 |
| qB |
| mv2n+1 |
| qB |
| 2 |
| B |
|
| 2n+2 |
| 2n+1 |
答：（1）a粒子第一次被加速后进入D2盒中时的速度大小是
|
（2）a粒子被加速后获得的最大动能Ek是
| q2B2R2 |
| 2m |
| Bq |
| 2πm |
（3）a粒子在第n次由D1盒进入D2盒与紧接着第n+1次由D1盒进入D2盒位置之间的距离△x是
| 2 |
| B |
|
| 2n+2 |
| 2n+1 |
点评：解决本题的关键知道回旋加强器的工作原理，利用磁场偏转，电场加速．以及知道回旋加强器加速粒子的最大动能与什么因素有关．运用数学归纳法研究规律，求解△x．
练习册系列答案
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如图所示为回旋加速器的原理示意图，其核心部分是两个靠得非常近的D形盒，两盒分别和一高频交流电源的两极相连，交流高频电源的电压为U，匀强磁场分布在两D形盒内且垂直D形盒所在平面，磁感应强度为B，在D形盒中央S点处放有粒子源．粒子源放出质量为m、带电量为q的粒子（设粒子的初速度为零）被回旋加速器加速，设D形盒的最大半径为R，则（ ）
如图所示为回旋加速器的原理示意图，其核心部分是两个D形盒，两盒分别和一高频交流电源的两极相连，高频电源的电压为U，匀强磁场垂直D形盒平面，磁感应强度为B，在D形盒中央s点处放有粒子源．当粒子源放出质量为m、带电量为q的粒子（设粒子的初速度为0），然后被回旋加速器加速，设D形盒的最大半径为R，则（ ）A、所加高频交流电的频率应是
| ||
B、所加高频交流电的频率应是
| ||
C、粒子离开加速器前被加速的次数为
| ||
D、粒子离开加速器时的动能是
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