Question

如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L．已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G．
（1）求两星球做圆周运动的周期．
（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T₁．但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周T₂．已知地球和月球的质量分别为5.98×10²⁴kg 和 7.35×10²²kg．求T₂与T₁两者平方之比．（结果保留3位小数）

Answer 1

分析：这是一个双星的问题，A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，
A和B有相同的角速度和周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律解决问题．

解答：解：（1）A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力大小相等，
且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期，因此有：
 mω²r=Mω²R，r+R=L
联立解得：R=

m

m+M

L，r=

M

m+M

L
对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：

GMm

L2

=m

4π2

T2

?

M

m+M

L      
化简得：T=2π

L3 G(M+m)

   
（2）将地月看成双星，由（1）得 T₁=2π

L3 G(M+m)

    
将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得：

GMm

L2

=m

4π2

T2

L    
化简得：T₂=2π

L3 GM

  
所以两种周期的平方比值为：(

T2

T1

)2=

M+m

M

=

5.98×1024+7.35×1022

5.98×1024

=1.01
故答案为：（1）两星球做圆周运动的周期是2π

L3 G(M+m)

；     
（2）T₂与T₁两者平方之比为1.01．

点评：对于双星问题，我们要抓住它的特点，即两星球的万有引力提供各自的向心力和两星球具有共同的周期．