Question

15．一劲度系数k=500N/m的轻质弹簧，竖直固定在水平地面上，如图所示．在弹簧正上方1m处，用细线悬挂一质量m=2kg的金属球，当细线被烧断后，金属球落到弹簧上压缩弹簧，但没有超过弹性限度．已知弹簧的弹性势能与劲度系数、形变量的关系式为Ep=$\frac{1}{2}$kx²，不计空气阻力，忽略金属球与弹簧接触时产生的能量损失，金属球可视为质点，g=10m/s²．试求：（结果可保留根号）
（1）金属球下落过程中的最大速度．
（2）金属球下落过程中的最大位移．

Answer 1

分析 （1）金属球的合力为零时速度最大，由平衡条件、胡克定律求出弹簧的压缩量，再由机械能守恒求最大速度．
（2）对整个过程，运用机械能守恒定律列式，可求得金属球下落过程中的最大位移．

解答 解：（1）金属球的合力为零时速度最大，此时有：mg=kx
则得：x=$\frac{mg}{k}$=$\frac{20}{500}$m=0.04m
设金属球下落过程中的最大速度为v_m．根据机械能守恒定律得：
mg（h+x）=$\frac{1}{2}$kx²+$\frac{1}{2}$mv_m²；
代入数据解得：v_m=2$\sqrt{5.1}$m/s
（2）设金属球下落过程中的最大位移为S．根据机械能守恒定律得：
mgS=$\frac{1}{2}$k（S-h）²；
解得：S=$\frac{52+\sqrt{2694}}{25}$m
答：（1）金属球下落过程中的最大速度是2$\sqrt{5.1}$m/s．
（2）金属球下落过程中的最大位移是$\frac{52+\sqrt{2694}}{25}$m．

点评 本题关键是分析清楚小球的运动，找出平衡点后根据胡克定律和机械能守恒定律列式求解即可．