Question

4．“伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终于到达木星周围．已知探测器在半径为r的轨道上绕木星运行的周期为T，木星的半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）探测器的运行速率v
（2）木星的质量M．
（3）木星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）由半径与周期、线速度的关系即可求出线速度；
（2）由万有引力定律即可求出木星的质量；
（3）由万有引力提供向心力即可求出第一宇宙速度．

解答 解：（1）由半径与周期、线速度的关系可得探测器的线速度：v=$\frac{2πr}{T}$，
（2）探测器在圆形轨道上运行时，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=$\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
所以：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（3）设木星的第一宇宙速度为：v₀，由万有引力提供向心力得：
G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{r}{R}}$v=$\frac{2πr}{T}•\sqrt{\frac{r}{R}}$
答：（1）探测器的运行速率是$\frac{2πr}{T}$；
（2）木星的质量M是$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（3）木星的第一宇宙速度是$\frac{2πr}{T}•\sqrt{\frac{r}{R}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．