Question

7．如图所示，在地面附近，坐标系xOy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在x＜0的区域内还有沿x轴负向的匀强电场，场强大小为E，一个带正电油滴经图中x轴上的M点，沿着与水平方向成a=30°角斜向下做直线运动，进入x＞0的区域．要使油滴进入x＞0的区域后能在竖直平面内做匀速圆周运动．需在x＞0的区域内加一个匀强电场，若带电油滴做圆周运动通过x轴上的N点，且MO=NO．求：
（1）在x＞0的区域内所加的电场强度的大小和方向；
（2）油滴从x轴上的M点到达x轴上的N点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）带电油滴沿着直线MP做匀速运动，分析受力情况，由平衡条件判断油滴的电性．油滴沿着直线MP做匀速运动，合力为零，作出油滴的受力示意图；
在x＞0的区域，油滴要做匀速圆周运动，其所受的电场力必与重力平衡，则可由平衡条件列式求得场强．
（2）分段求时间，匀速直线运动过程，根据位移和速率求解；匀速圆周运动过程，画出轨迹，根据轨迹的圆心角求时间．

解答 解：（1）带电油滴沿着直线MP做匀速运动，分析受力情况如图1，可知油滴带正电．
油滴受三力作用（见图1）沿直线匀速运动由平衡条件有：qvBsin30°=qE…①
  mgtan30°=qE…②
解得：v=$\frac{2E}{B}$…③
在x＞0的区域，油滴要做匀速圆周运动，其所受的电场力必与重力平衡，
由于油滴带正电，所以场强方向竖直向上．
设该电场的场强为E′，则有qE′=mg…④
由②、④式联立解得E′=$\sqrt{3}$E…⑤，方向竖直向上；
（3）见图2，弧PN为油滴做圆周运动在x＞0、y＜0区域内形成的圆弧轨道所对应的弦，
PO′是过P点所作的垂直于MP的直线，由于MO=NO，由几何关系容易知道O′点一定是圆心，
且＜PO′N=120°…⑥
设油滴从M点到P点和从P点到N点经历的时间分别为t₁和t₂
做匀速圆周运动时有qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑦
由②、③、⑦由式解得：R=$\frac{2\sqrt{3}{E}^{2}}{g{B}^{2}}$…⑧
t₁=$\frac{MP}{v}$=$\frac{Rcot30°}{v}$=$\frac{3E}{gB}$…⑨
t₂=$\frac{120°}{360°}$T=$\frac{1}{3}$×$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πR}{3v}$=$\frac{2\sqrt{3}πE}{3gB}$…⑩
全过程经历的时间为t=t₁+t₂=$\frac{3E}{gB}$+=$\frac{2\sqrt{3}πE}{3gB}$；
答：（1）在x＞0空间内所加电场的场强大小为$\sqrt{3}$E，方向：竖直向上．
（2）油滴从x轴上的M点开始到达x轴上的N点所用的时间为：$\frac{3E}{gB}$+=$\frac{2\sqrt{3}πE}{3gB}$．

点评 本题是带电体在复合场中运动的类型，分析受力情况和运动情况是基础，小球做匀速圆周运动时，画出轨迹，由几何知识确定圆心角是求解运动时间的关键．