Question

18．如图所示，在直角坐标系xoy的第一、四象限区域内存在两个有界的匀强磁场：垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ、垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，O、M、P、Q为磁场边界和x轴的交点，OM=MP=L．在第三象限存在沿y轴正向的匀强电场．一质量为m带电量为+q的带电粒子从电场中坐标为（-4L，-2L）的点以速度v₀沿+x方向射出，恰好经过原点O处射入区域Ⅰ又从M点射出区域Ⅰ（粒子的重力忽略不计）．
（1）求第三象限匀强电场场强E的大小；
（2）求区域Ⅰ内匀强磁场磁感应强度B的大小；
（3）如带电粒子能再次回到原点O，问区域Ⅱ内磁场的宽度至少为多少？粒子两次经过原点O的时间间隔为多少？

Answer 1

分析 （1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，运用运动的分解法，由牛顿第二定律和运动学公式求解场强E的大小；
（2）带电粒子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动．由题意，粒子经过原点O处射入区域I又从M点射出区域I，画出轨迹，由几何知识求出轨迹半径，由牛顿第二定律即可求得磁感应强度B的大小；
（3）当带电粒子恰好能再次回到原点O，在磁场Ⅱ中轨迹恰好与其右边界相切，画出轨迹，由几何关系即可求出磁场的宽度．分段求出时间，即可求得总时间．

解答 解：（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动．
水平方向：4L=v₀t
竖直方向：2L=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$（$\frac{4L}{{v}_{0}}$）²
联立得：E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{4qL}$
（2）设到原点时带电粒子的竖直分速度为v_y：
 v_y=$\frac{qE}{m}$t=$\frac{qE}{m}$$\frac{4L}{{v}_{0}}$=v₀
方向与轴正向成 45°角 粒子进入区域Ⅰ做匀速圆周运动，由几何知识可得：
_{R1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L}
由洛伦兹力充当向心力：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
可解得：B=$\frac{mv}{q{R}_{1}}$=$\frac{2mv}{qL}$     
（3）运动轨迹如图，在区域Ⅱ做匀速圆周的半径为：R₂=$\sqrt{2}$L
d₂≥R₂+L=（$\sqrt{2}$+1）L                          
运动时间：粒子从O到M的运动时间t₁=$\frac{\frac{π}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{πL}{4{v}_{0}}$
粒子从M到N的运动时间t₂=$\frac{\sqrt{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{L}{{v}_{0}}$
粒子在区域Ⅱ中的运动时间t₃=$\frac{\frac{3π}{2}\sqrt{2}L}{\sqrt{2}{V}_{0}}$=$\frac{3πL}{2{v}_{0}}$
粒子两次经过原点O的时间间隔为：t_总=2（t₁+t₂）+t₃=$\frac{2（π+1）L}{{v}_{0}}$
答：（1）第三象限匀强电场场强E的大小为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{4qL}$；
（2）区域Ⅰ内匀强磁场磁感应强度B的大小为$\frac{2mv}{qL}$；
（3）如带电粒子能再次回到原点O，问区域Ⅱ内磁场的宽度至少为（$\sqrt{2}$+1）L，粒子两次经过原点O的时间间隔为$\frac{2（π+1）L}{{v}_{0}}$．

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，注意在磁场中的运动要注意几何关系的应用，在电场中注意由类平抛运动的规律求解．