Question

17．如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上，上面连接一个质量为m的物体A，平衡时弹簧压缩量为x₀．在物体A正上方4.5x₀处有一个质量为2m的物体B自由下落后，与A物体粘连并以相同的速度运动．假如弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能E_p=$\frac{1}{2}$kx²（式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），重力加速度为g，不计空气阻力，A、B均可视为质点．求：
（1）A、B碰撞过程中损失的机械能；
（2）两物体作简谐运动的振幅；
（3）两物体共同运动过程中的最大加速度大小；
（4）弹簧的最大弹性势能E_pm．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒可求得B物体碰前的速度，再由动量守恒定律可求得碰后共同的速度；则可求得机械能的损失量；
（2）先求得平衡位置，再根据机械能守恒定律求得最大压缩量，则可求得振幅；
（3）当振幅达最大时，加速度最大，由牛顿第二定律可求得加速度；
（4）由弹簧的弹性势能公式可求得弹簧的最大弹性势能．

解答 解：（1）根据机械能守恒得：
mgh=$\frac{1}{2}m$${v}_{0}^{2}$
物体m₂碰撞前的速度v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{9gx}$m/s．
设碰撞后两物体的速度为v，向下为正方向，则由动量守恒定律得
m₂v₀=（m₁+m₂）v
得到v=$\frac{{{m}_{2}v}_{0}}{{{m}_{1}+m}_{2}}$=$\frac{2m}{3m}$$\sqrt{90x}$=2$\sqrt{g{x}_{0}}$；
所以碰撞结束瞬间两物体的动能之和E_k=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²=$\frac{1}{2}×3m$（4gx₀）=6mgx₀；
损失的机械能为：
$\frac{1}{2}$•2mv₀²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²=3mgx₀；
（2）由题开始状态，平衡时形变量为x₀；
则弹簧的劲度系数k=$\frac{F}{{x}_{1}}$=$\frac{mg}{{x}_{0}}$
碰撞后，当两物体的重力与弹力平衡时，
弹簧被压缩的长度x₂=$\frac{（{{m}_{1}+m}_{2}）g}{k}$=3x₀．
当物体到达最底端时，设下降的高度为h，由机械能守恒定律可得：
$\frac{1}{2}$kx₀²+$\frac{1}{2}$（3m）v²+3mgh=$\frac{1}{2}$k（h+x₀）²
解得：6x₀=h；
则振幅为A=6x₀-2x₀=4x₀；
（3）当达最大振幅时，加速度最大；此时合力F=k×6x₀-3mg=3mg；
故最大加速度a=$\frac{3mg}{3m}$=g；
（4）达最大振幅时，弹性势能最大，最大值为：
E_Pm=$\frac{1}{2}$kx²=$\frac{1}{2}$×$\frac{mg}{{x}_{0}}$×（6x₀）²=18mgx₀；
答：（1）A、B碰撞过程中损失的机械能为3mgx₀
（2）两物体作简谐运动的振幅为3x₀；
（3）两物体共同运动过程中的最大加速度大小为g；
（4）弹簧的最大弹性势能E_pm为18mgx₀．

点评 本题考查动量守恒、机械能守恒定律及简谐运动规律，要注意正确分析物理过程，明确由于碰撞时间很短，碰撞过程动量守恒；同时注意各过程中物理规律的正确应用．