Question

18．在真空中有大小为B=1.0T、方向垂直纸面向里的环形匀强磁场，内环半径R₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，外环半径R₂=1.0m．在圆心O与内环间加上电压U后，内圆内形成一个辐射性的电场．荷质比为$\frac{q}{m}$=4.0×10³C/kg的带正电的粒子由圆心O处静止释放后经电场加速后进入磁场，不计带电粒子的重力．求
（1）带电粒子不能穿越磁场外边界的最大电压U_m；
（2）当电压为U_m时，带电粒子从圆心静止释放后第一次在磁场中的运动时间．

Answer 1

分析 （1）画出粒子的运动轨迹，根据几何关系求出在磁场中做圆周运动的半径，再根据洛伦兹力提供向心力求出最大速度，在加速电场中，根据动能定理求解最大电压；
（2）当所加电压为U_m时，从圆心释放的带电粒子经电场、磁场再次回到圆心，画出运动轨迹，根据周期公式结合几何关系求解即可．

解答 解：（1）粒子运动轨迹如图所示，由图知：
${{R}_{1}}^{2}+{r}^{2}=（{R}_{2}-r）^{2}$…①
$r=\frac{1}{3}m$…②
粒子在磁场做圆周运动，则有：$Bq{v}_{m}=m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{r}$…③
解得：${v}_{m}=\frac{4}{3}×1{0}^{7}m/s$…④
粒子在电场中加速，则有：$q{U}_{m}=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}$…⑤
解得：${U}_{m}=\frac{2}{9}×1{0}^{3}V$…⑥
（2）当所加电压为U_m时，从圆心释放的带电粒子经电场、磁场再次回到圆心的轨迹如图所示．由图知
$tanθ=\frac{{R}_{1}}{r}$…⑦
在磁场中的圆心角为α=2π-2θ…⑧
粒子在磁场中做圆周运动的周期 $T=\frac{2πr}{{v}_{m}}$…⑨
在磁场中运动的时间为t₁，则有：${t}_{1}=\frac{α}{2π}T$…⑩
联立⑤～⑧解得：t₁=1.05×10^-3s
答：（1）带电粒子不能穿越磁场外边界的最大电压U_m为$\frac{2}{9}×1{0}^{3}V$；
（2）当电压为U_m时，带电粒子从圆心静止释放后第一次在磁场中的运动时间为1.05×10^-3s．

点评 考查带电粒子在电磁场中的运动，结合牛顿第二定律与动能定理求解，掌握如何画出运动轨迹图，学会求在磁场中运动的时间，难度适中．