Question

10．如图甲，间距L=1.0m的平行长直导轨MN、PQ水平放置，两导轨左端MP之间接有一阻值为R=0.1Ω的定值电阻，导轨电阻忽略不计．一导体棒ab垂直于导轨放在距离导轨左端d=1.0m，其质量m=0.1kg，接入电路的电阻为r=0.1Ω，导体棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.1，整个装置处在范围足够大的竖直方向的匀强磁场中．选竖直向下为正方向，从t=0时刻开始，磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示，导体棒ab一直处于静止状态．不计感应电流磁场的影响，当t=3s时，突然使ab棒获得向右的速度v₀=10m/s，同时在棒上施加一方向水平、大小可变化的外力F，保持ab棒具有大小恒为a=5m/s²方向向左的加速度，取g=10m/s²．

（1）求前3s内电路中感应电流的大小和方向．
（2）求ab棒向右运动且位移x₁=6.4m时的外力F．
（3）从t=0时刻开始，当通过电阻R的电量q=5.7C时，ab棒正在向右运动，此时撤去外力F，且磁场的磁感应强度大小也开始变化（图乙中未画出），ab棒又运动了x₂=3m后停止．求撤去外力F后电阻R上产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）由图b的斜率读出$\frac{△B}{△t}$，由法拉第电磁感应定律求出回路中感应电动势，由欧姆定律求解感应电流的大小，根据楞次定律判断感应电流的方向．
（2）t=3s后，ab棒做匀变速运动，位移s₁=6.4m时，由公式v²-${{v}_{0}}^{2}$=2as求出速度大小，由安培力公式F=BIL和感应电动势公式E=BLv、欧姆定律求出安培力的大小，再由牛顿第二定律求解外力F．
（3）由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式结合求出3s后到撤去外力F时导体棒运动的位移s，再运动学公式和动能定理结合求解热量．

解答 解：（1）前3s内，根据图象可知，$\frac{△B}{△t}=\frac{0.2}{2}=0.1T/s$，
I=$\frac{E}{R+r}$，E=$\frac{△BS}{△t}$，S=Ld，
联立解得：I=0.5A，
根据楞次定律可知，电路中的电流方向为a→b→P→M→a，
（2）设ab棒向右运动且位移x₁=6.4m时，速度为v₁，外力F方向水平向左，则
F+F_安+μmg=ma，
F_安=BIL，
E=BLv₁，
而${{v}_{0}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}=2a{x}_{1}$
联立解得：F=0.1N，方向水平向左，
（3）前3s内通过电阻R的电量为：q₁=I△t，
撤去外力前，棒发生位移x过程中通过电阻R的电量为q₂，棒的速度为v₂，则q₂=q-q₁，${q}_{2}=\frac{△∅}{△t（R+r）}•△t$
△∅=BLx，
${{v}_{0}}^{2}$-v₂²=2ax，
由能量守恒可得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=2{Q}_{R}+μmg{x}_{2}$
联立各式并带入数据得：
Q_R=0.25J
答：（1）前3s内电路中感应电流的大小为0.5A，方向为a→b→P→M→a；
（2）ab棒向右运动且位移x₁=6.4m时的外力F大小为0.1N，方向水平向左；
（3）撤去外力F后电阻R上产生的热量为0.25J．

点评 本题是电磁感应与电路、力学知识的综合，关键要正确分析导体棒的受力情况和能量转化的情况，熟练推导出安培力与速度的关系，感应电量与磁通量变化的关系，正确把握功和能的关系．