Question

12．如图所示，OA为一单摆，B是穿在一根较长细线上的小球，让OA偏离竖直方向一很小的角度，在放手让A球向下摆动的同时，另一小球B从与O点等高处由静止开始下落，当A球摆到最低点时，B球也恰好到达与A同一水平面处，求B球下落时受到的细线的阻力大小与B球重力大小之比．（取g=10m/s²，π²=10）

Answer 1

分析 先利用单摆周期公式计算出A球摆动的周期，再计算出A球摆到最低点的时间t，然后对B球受力分析，求出下落的加速度，根据匀变速运动的位移与时间关系建立起各物理量之间的关系，最后进行整理，得出B球下落时受到的细线的阻力大小与B球重力大小之比．

解答 解：让OA偏离竖直方向一很小的角度，在放手让A球向下摆动，当A球摆到最低点时
第一次到达最低点的时间为${t}_{1}=\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}×2π\sqrt{\frac{L}{g}}$=$\frac{π}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}$
第二次到达最低点的时间为${t}_{2}=\frac{3}{4}T=\frac{3π}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}$
第三次到达最低点的时间为${t}_{3}=\frac{5}{4}T=\frac{5π}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}$
以此类推，A球摆到最低点的时间t=$\frac{2n+1}{2}π\sqrt{\frac{L}{g}}$，（n=0，1，2，3，…）
对B球分析，设B球受到细线的阻力大小为f，B球质量为m
因此下落的加速度为a=$\frac{mg-f}{m}$
L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
即L=$\frac{1}{2}×\frac{mg-f}{m}×（\frac{2n+1}{2}π\sqrt{\frac{L}{g}}）^{2}$
可得：$\frac{f}{mg}=1-\frac{0.8}{（2n+1）^{2}}$，（n=0，1，2，3，…）
答：B球下落时受到的细线的阻力大小与B球重力大小之比为$1-\frac{0.8}{（2n+1）^{2}}$（n=0，1，2，3，…）．

点评 解答本题的关键是掌握单摆的周期公式，计算出A球摆到最低点的时间，注意单摆到达最低点存在多解问题，一定要考虑全面，不可只计算了A球第一次到达最低点的时间．