Question

4．如图，竖直平面坐标系xoy的第一象限，有垂直xoy面向里的水平匀强磁场和竖直向下的匀强电场，大小分别为B和E；第四象限有竖直向上的匀强电场，大小也为E；第三象限内有一绝缘光滑竖直放置的半径为R的半圆轨道，轨道最高点与坐标原点O相接，最低点为N．一质量为m的带电小球从y轴上（y＞0）的P点沿x轴正方向进入第一象限后做匀速圆周运动，恰好通过坐标原点O，且水平切入半圆轨道并沿轨道内侧运动，过N点水平进入第四象限，并在电场中运动（已知重力加速度为g）．
（1）判断小球的带电性质并求出其所带电荷量；
（2）P点距坐标原点O至少多高；
（3）若该小球以满足（2）中OP最小值的位置和对应速度进入第一象限，通过N点开始计时，经时间t=$\sqrt{\frac{R}{g}}$小球距坐标原点O的距离s为多远？

Answer 1

分析 （1）小球进入第一象限正交的电场和磁场后，在垂直磁场的平面内做圆周运动，说明重力与电场力平衡从而判定小球的电性和电量．
（2）设匀速圆周运动的速度为v、轨道半径为r由洛伦兹力提供向心力；小球恰能通过半圆轨道的 最高点并沿轨道运动，则应满足重力和电场力的合力恰好提供向心力，联立即可求出P点距坐标原点O至少多高；
（3）小球由O运动到N的过程中由机械能守恒，小球从N点进入电场区域后，在绝缘光滑水平面上作类平抛运动．根据运动的类型，写出相应的公式，就可以求解．

解答 解：（1）小球进入第一象限正交的 电场和磁场后，在垂直磁场的 平面内做圆周运动，说明重力与电场力平衡．设小球所带电荷量为q，则有：
qE=mg  
解得：
q=$\frac{mg}{E}$
又电场方向竖直向下，故小球带负电．
（2）设匀速圆周运动的 速度为v、轨道半径为r由洛伦兹力提供向心力得：
qBv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
小球恰能通过半圆轨道的最高点并沿轨道运动，则应满足：
mg+qE=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得：
r=$\frac{m\sqrt{2gR}}{qB}$
即PO的最小距离为：
y=2r=$\frac{2m\sqrt{2gR}}{qB}$
（3）小球由O运动到N的 过程中设到达N点的速度为v_N，由机械能守恒得：
（qE+mg）2R=$\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立解得：
v_N=$\sqrt{10gR}$
小球从N点进入电场区域后，在绝缘光滑水平面上作类平抛运动．设加速度为a，则有：
沿x轴方向有：x=v_Nt
沿电场方向有：y′=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由牛顿第二定律得：a=$\frac{qE+mg}{m}$=2g
t=$\sqrt{\frac{R}{g}}$时刻小球距O点为：S=$\sqrt{{x}^{2}+（y′+2R）^{2}}$ 
联立解得：S=$\sqrt{19}R$
答：（1）小球的带负电，其所带电荷量q=$\frac{mg}{q}$；
（2）P点距坐标原点O至少为$\frac{2m\sqrt{2gR}}{qB}$；
（3）经时间t=$\sqrt{\frac{R}{g}}$，小球距坐标原点O的距离为$\sqrt{19}R$．

点评 该题中，设置的情景比较复杂，运动的过程较多，一定要理清运动的过程和各个过程中的受力以及做功的情况，再选择合适的公式进行解题．