Question

18．如图所示，ABCDF为一绝缘光滑轨道，竖直放置在方向水平向右的匀强电场中，电场强度大小为E．AB面水平，BCDF是半径为R的圆形轨道，B为圆心正下方的最低点，D为圆心正上方的最高点．今有一个带正电小球在电场力作用下由静止从A点开始沿轨道运动，小球受到的电场力和重力大小相等，小球的电量为q．求：
（1）若AB间的距离为4R，则小球在运动过程中的最大动能有多大？
（2）若AB间的距离为4R，则小球通过最高点D时的对轨道的压力有多大？
（3）若小球能沿轨道做圆周运动到达接近水平轨道的F点．则AB间的距离至少要多大？

Answer 1

分析 （1）小球在重力和电场力的复合场中，有一个等效最高点与等效最低点，当小球在等效最低点的时候，小球的动能最大；
（2）要使小球在圆轨道上做圆周运动，小球在运动到D点的过程中，重力和电场力做功，根据动能定理以及牛顿第二定律即可解答；
（3）使小球在圆轨道上做圆周运动，小球在“最高”点不脱离圆环．这“最高”点并不是D点，可采用等效重力场的方法进行求解．对小球受力分析可知，小球在混合场中的最高点，此时小球的速度应该为零，在由动能定理可以求得AB间的距离．

解答 解：（1）重力场和电场合成等效重力场，其方向为电场力和重力的合力方向，与竖直方向的夹角（如图所示）$tanθ=\frac{mg}{qE}=1$
得：θ=45°
所以小球在BC之间且小球与圆心连线与竖直方向成θ=45°的位置动能最大         
（2）从A点到最高点D，据动能定理有：
$Eq4R-mg2R=\frac{1}{2}m{v^2}$
$v=2\sqrt{gR}$
在D点重力和轨道的支持力提供向心力，则：
${F}_{N}+mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$
联立得：F_N=3mg
根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力也是3mg
（3）等效重力加速度：$g'=\frac{F_合}{m}=\frac{{\sqrt{{{（mg）}^2}+{{（qE）}^2}}}}{m}=\sqrt{2}g$
在等效重力场的“最高”点，小球刚好不掉下来时有：$mg'=m\frac{v^2}{R}$$v=\sqrt{gR'}=\sqrt{\sqrt{2}Rg}$
从A到等效重力场的“最高”点，由动能定理有：$qE（L-Rsin{45^O}）-mg（R+Rcos{45^O}）=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
解得：$L=\frac{{mgR（1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}mgR+qE\frac{{\sqrt{2}}}{2}R}}{qE}=（1+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}）R$
答：（1）小球在BC之间且小球与圆心连线与竖直方向成θ=45°的位置动能最大；
（2）若AB间的距离为4R，则小球通过最高点D时对轨道的压力是3mg；
（3）AB间的距离至少为$（1+\frac{3\sqrt{2}}{2}）R$．

点评 考查圆周运动最高点的最小速度，同时运用动能定理解题．小球在混合场中的运动，关键分析清楚小球的受力的情况，找到小球在混合场中的最高点，在最高点时球的速度的大小是最小的．