Question

14．从距地面高为4H的A点平抛一物体A，其水平射程为2s，B在A的正上方且相距5H，以同方向抛出，其水平射程为s，两物体在空中运动的轨迹在同一竖直面内，且都从同一屏的顶端擦过，重力加速度为g．求：
（1）A、B的初速度之比v_A：v_B；
（2）该屏的高度；
（3）如保持v_A不变，而改变v_B，可使两物体在屏的右边区域运动时相遇，但必须提前△t时间抛出某个物体．问应该先抛出哪个物体，并求出△t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，结合竖直位移之比和水平位移之比求出初速度之比；
（2）再对抛出到屏顶端研究，结合平抛运动的规律求出屏的高度．
（3）抓住两个临界状态，即在屏顶端相遇和在最右边2s处相遇，结合运动学公式求出时间差，从而得出△t的取值范围．

解答 解：（1）对于A球，根据4H=$\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，2s=v_At₁得，${v}_{A}=2s\sqrt{\frac{g}{8H}}$，
对于B球，根据9H=$\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$，s=v_Bt₂得，${v}_{B}=s\sqrt{\frac{g}{18H}}$，
解得$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{3}{1}$．
（2）要A、B都经过屏障的顶端，
对A有：s_屏=v_At_A′，4H-h=$\frac{1}{2}g{t}_{A}{′}^{2}$，
对B有：s_屏=v_Bt_B′，9H-h=$\frac{1}{2}g{t}_{B}{′}^{2}$，
联立解得h=$\frac{27}{8}H$．
（3）若在屏顶端相遇，则对A：4H-$\frac{27H}{8}$=$\frac{1}{2}g{{t}_{A}}^{2}$，解得${t}_{A}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5H}{g}}$，
对B：9H-$\frac{27}{8}H$=$\frac{1}{2}g{{t}_{B}}^{2}$，解得${t}_{B}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{5H}{g}}$，
则$△{t}_{1}={t}_{B}-{t}_{A}=\sqrt{\frac{5H}{g}}$，
若在最右边2s处相遇，则对A：4H=$\frac{1}{2}g{{t}_{A}}^{2}$，解得${t}_{A}=2\sqrt{\frac{2H}{g}}$，
对B：9H=$\frac{1}{2}g{{t}_{B}}^{2}$，解得${t}_{B}=3\sqrt{\frac{2H}{g}}$，
则$△{t}_{2}={t}_{B}-{t}_{A}=\sqrt{\frac{2H}{g}}$，
所以先抛出B物体，且$\sqrt{\frac{2H}{g}}＜△t＜\sqrt{\frac{5H}{g}}$．
答：（1）A、B的初速度之比v_A：v_B为3：1；
（2）该屏的高度为$\frac{27}{8}H$；
（3）先抛出B物体，且$\sqrt{\frac{2H}{g}}＜△t＜\sqrt{\frac{5H}{g}}$．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解．