Question

20．小明站在水平地面上，手握不可伸长的细绳一端，细绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内绕O以半径L做圆周运动，已知握绳的手离地面的高度为3L，细绳的拉力达到9mg时就会断裂，逐渐增大球的速度，当球某次运动到最低点时绳恰好断裂，忽略手的运动半径和空气阻力，求：
（1）绳断裂时小球的速度大小v₀；
（2）小球落地点与O点的水平距离和落地时速度v的大小和方向．（方向可用夹角的三角函数值表示）

Answer 1

分析 （1）绳断裂时细绳的拉力达到最大值，根据在最低点，合力提供向心力，运用牛顿第二定律求出v₀．
（2）绳断后，小球做平抛运动，根据平抛运动的高度求出时间，根据速度的合成求出小球落地时的速度，根据水平方向做运动运动求解水平距离．

解答 解：（1）由圆周运动向心力公式，有：
  T-mg=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$
解得：v₀=$2\sqrt{2gL}$
（2）绳断后，小球做平抛运动，
根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2（3L-L）}{g}}=2\sqrt{\frac{L}{g}}$
则水平距离x=${v}_{0}t=2\sqrt{2gL}•2\sqrt{\frac{L}{g}}=4\sqrt{2}L$
竖直方向的速度${v}_{y}=gt=2\sqrt{gL}$
则落地时的速度v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=2\sqrt{3gL}$
设落地时速度与水平方向的夹角为θ，则tan$θ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{2\sqrt{gL}}{2\sqrt{2gL}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
答：（1）绳断裂时小球的速度大小为$2\sqrt{2gL}$；
（2）小球落地点与O点的水平距离为$4\sqrt{2}L$，落地时速度v的大小为$2\sqrt{3gL}$，速度方向与水平方向的夹角的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题综合了平抛运动和圆周运动两个运动，关键知道平抛运动在竖直方向和水平方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源．