Question

14．半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和$\sqrt{3}$m的小球A和B．A、B之间用一长为$\sqrt{2}$R的轻杆相连，如图所示．开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，试求：
（1）B球到达最低点时的速度大小；
（2）B球在圆环右侧区域内能达到的最高点到圆环圆心的竖直高度．

Answer 1

分析 （1）把AB看成一个系统，只有重力做功，系统机械能守恒，根据机械能守恒定律即可求解；
（2）设B球到右侧最高点时，OB与竖直方向夹角为θ，设圆环圆心处为零势能面，由系统机械能守恒列式结合几何关系即可求解．

解答 解：（1）A、B组成的系统机械能守恒：${m}_{A}gR+{m}_{B}gR=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$
又A、B速度大小相同：v_A=v_B
得：${v}_{A}={v}_{B}=\sqrt{2gR}$
（2）设B球到右侧最高点时，OB与竖直方向夹角为θ，设圆环圆心处为零势能面，由系统机械能守恒得：m_AgR=m_BgRcosθ-m_AgRsinθ，
代入数据得：θ=30°
所求竖直高度：$h=Rcosθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}R$
答：（1）B球到达最低点时的速度大小为$\sqrt{2gR}$；
（2）B球在圆环右侧区域内能达到的最高点到圆环园心的竖直高度为$\frac{\sqrt{3}}{2}R$．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律的直接应用，要求同学们能选取适当的研究对象运用机械能守恒定律解题，同时注意几何关系在解题中的应用，难度适中．