Question

4．如图所示，光滑水平面上有带有$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道的滑块，其质量为2m，一质量为m的小球以速度v_o沿水平面滑上轨道，到达滑块最高点时，二者速度相同．求：
（1）两者的共同速度；
（2）该过程中小球的机械能损失；
（3）该过程中系统损失的机械能．

Answer 1

分析 （1）小球在轨道上滑行的过程中，小球和滑块系统在水平方向上不受外力，水平方向动量守恒，当小球到达轨道最高点时出时，小球与滑块速度相同，根据动量守恒列方程求解共同速度．
（2）该过程中小球的机械能损失由初末机械能之差．
（3）根据能量守恒定律求系统机械能的损失．

解答 解：（1）小球与滑块组成的系统在水平方向上不受外力，水平方向动量守恒，当小球到达滑块最高点时，竖直速度为零，所以小球与滑块有相同的水平速度，设为v．以小球与滑块组成的系统为研究对象，系统水平方向动量守恒，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得：
   mv₀=（2m+m）v
解得：v=$\frac{1}{3}$v₀．
（2）取水平面为零势能面，小球的初动能为：E_K1=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，重力势能为：E_P1=0．末状态的动能为：E_K2=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{18}m{v}_{0}^{2}$，小球的重力势能为：E_P2=mgR
所以小球损失的机械能为；△E=E_K1+E_P1-E_K2-E_P2=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+0-$\frac{1}{18}m{v}_{0}^{2}$-mgR=$\frac{4}{9}m{v}_{0}^{2}$-mgR
（3）由于各个接触面光滑，系统没有机械能损失，即系统损失的机械能为零．
答：
（1）两者的共同速度是$\frac{1}{3}$v₀；
（2）该过程中小球的机械能损失是$\frac{4}{9}m{v}_{0}^{2}$-mgR；
（3）该过程中系统损失的机械能是零．

点评 本题是系统水平方向动量守恒的问题，容易出错的地方是认为小球上升到最高点时，滑块的速度最大，要注意分析过程，计算机械能时注意选取零势能面．