Question

18．在高速公路上，某辆汽车始终保持108km/h的速率行驶，汽车轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．（取g=10m/s²）
（1）如果汽车在高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，为确保拐弯时不产生横向滑动，其弯道的最小半径是多少？
（2）如果高速路上设计了圆弧形拱桥做立交桥，要使汽车能够不离开桥面安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）汽车在水平路面上转弯时，靠静摩擦力提供向心力，拐弯时不产生横向滑动，汽车所需要的向心力不超过最大静摩擦力，根据牛顿第二定律求出最小半径；
（2）要使汽车能够不离开地面安全通过圆弧拱桥，汽车靠重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力，支持力应大于等于零，再根据牛顿第二定律求解．

解答 解：（1）汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力是车与路面间的静摩擦力，有：
m$\frac{{v}^{2}}{r}$≤F_m=0.6mg
由速度v=108km/h=30m/s，得到半径：
r≥$\frac{{v}^{2}}{0.6g}$=$\frac{900}{0.6×10}$m=150m；
（2）汽车过拱桥，看作在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，有：
m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mg-N
为了保证安全，车队路面的压力N必须满足：
N≥0
有：m$\frac{{v}^{2}}{r}$≤mg，
代入数据得：R≥90m，即这个圆弧拱桥的半径至少是90m．
答：（1）如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，拐弯时不产生横向滑动．其弯道的最小半径是150m．
（2）如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够不离开地面安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是90m．

点评 解决本题的关键知道汽车在水平路面上拐弯靠静摩擦力提供圆周运动的向心力，通过圆弧拱桥时，靠重力和支持力的合力提供向心力．