Question

2．如图（a）所示，横截面积为S、匝数为n的线圈M中产生随时间均匀变化的磁场B₁，B₁随时间变化规律如图（b）所示．已知线圈的电阻为r，两端接在水平导轨PQ上，水平导轨离水平面高度为h，电阻不计，宽度为L．在水平导轨的右端放置一质量为m、电阻为R的金属棒ab，现在水平导轨区域右侧有一竖直向上的匀强磁场，方向竖直向上，磁感应强度为B₂，ab棒处于此匀强磁场中．

（1）若ab棒用其他外力使之静止不动，在t=0前闭合K，则在3t₀时间内通过ab棒的电量为多大？在ab棒上产生的热量为多大？
（2）若ab棒可以自由滑动，开始K断开，在t=t₀时闭合K（K闭合时间相对t₀较小），则ab水平抛出，从抛出到落地水平射程为x．试求闭合K过程中通过ab棒的电量．

Answer 1

分析 （1）由图象可知，斜率表示磁通量的变化率，由法拉第电磁感应定律可知，即可求解；
（2）根据闭合电路欧姆定律，与电量的表达式，即可求解

解答 解：（1）0-2t₀　感应电流的为I：I=$nS\frac{{B}_{1}}{2{t}_{0}（R+r）}$　Q₁=I×2t₀=$\frac{nS{B}_{1}}{R+r}$
　　　2t₀-3t₀感应电流为I′：I′=$\frac{nS{B}_{1}}{{t}_{0}（R+r）}$　　Q₂=I′t₀=$\frac{nS{B}_{1}}{R+r}$
　　3t₀时间内通过ab棒的电量为Q₁+Q₂=$\frac{2nS{B}_{1}}{R+r}$　　
　　在ab上产生的热量为：I²R2t₀+I′²Rt₀=$\frac{{n}^{2}{s}^{2}{B}_{1}^{2}R}{2{t}_{0}（R+r）^{2}}$+$\frac{{Rn}^{2}{S}^{2}{B}_{1}^{2}}{{t}_{0}（R+r）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\frac{{Rn}^{2}{S}^{2}{B}_{1}^{2}}{{t}_{0}（R+r）^{2}}$

（2）抛出瞬时为T，则由动量定理：B₂ILT=mv　　①
　　　　　　　　　　　　　　又：v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=x　　②
　　　由①②可得IT=Q′=$\frac{m\sqrt{\frac{g}{2h}}}{{B}_{2}L}$
答：（1）在3t₀时间内通过ab棒的电量为$\frac{2nS{B}_{1}}{R+r}$，在ab棒上产生的热量为$\frac{3}{2}$$\frac{{Rn}^{2}{S}^{2}{B}_{1}^{2}}{{t}_{0}（R+r）^{2}}$
（2）闭合K过程中通过ab棒的电量$\frac{m\sqrt{\frac{g}{2h}}}{{B}_{2}L}$

点评 考查图象的斜率的意义，掌握法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律与电量的表达式的应用