Question

已知地球半径R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s²，不考虑地球自转的影响．求：
（1）推导第一宇宙速度v₁的表达式，并计算其数值；
（2）若地球自转周期T=24h，计算地球同步卫星距离地面的高度h；
（3）若已知万有引力常量G=6.7×10^-11N?m²/kg²，估算地球的平均密度ρ．（以上计算结果保留一位有效数字）

Answer 1

【答案】分析：主要应用在地球表面重力和万有引力相等，卫星运动时万有引力提供圆周运动的向心力，据此列式求解即可．
解答：解：（1）当卫星在地球表面附近运动行时，受地球的万有引力提供向心力，即

得：卫星运行速度      ①
又因为在不考虑地球的自转，地球表面的重力和万有引力相等，故有，所以有
GM=gR²       ②
将②代入①可得：
=8×10³m/s
（2）同步卫星运动地周期与地球自转周期相同，即T=24h=24×3600s，同步卫星受到地球的万有引力提供向心力，故有：

可得即：
h=              ③
将②代入③得：=10³m≈4×10⁷m
（3）由②式得     ④
由几何知识知，地球的体积V=         ⑤
所以地球的密度ρ==kg/m³≈6×10³Kg/m³．
答：（1）第一宇宙速度表达式，数值为8×10³m/s；
（2）同步卫星距地面的高度h=4×10⁷m；
（3）地球的平均密度ρ=6×10³Kg/m³．
点评：能正确利用万有引力和重力向心力的关系，并能抓住表达式中的变量和不变量进行讨论和计算．