题目内容

11.如图所示,物块A的质量为M,物块B、C的质量都是m,并都可看作质点,且m<M<2m.三物块用细线通过滑轮连接,物块B与物块C的距离和物块C到地面的距离都是L.现将物块A下方的细线剪断,若物块A距滑轮足够远且不计一切阻力.若物块落到地面后速度立即变为零,求:
(1)C刚着地时的速度;
(2)若B不能着地,求$\frac{M}{m}$满足的条件;
(3)若B能着地,物块A距离最初位置上升的最大高度.

分析 (1)当C物体刚着地时,根据系统机械能守恒列式求解;
(2)C落地后,根据AB两物体系统机械能守恒,求出B恰好落地的临界条件,再判断M与m的关系;
(3)物块B着地后,A做竖直上抛运动,根据运动学公式列式求解.

解答 解:(1)根据题意有,A、B、C三物块系统机械能守恒.B、C下降L,A上升L时A、B、C三都速度大小相等,根据机械能守恒有:
2mgL-MgL=$\frac{1}{2}(2m+M){v}^{2}$
得v=$\sqrt{\frac{2(2m-M)gL}{2m+M}}$
(2)当C着地后,若B恰能着地,即B物块下降L时速度为零.A、B两物体系统机械能守恒.
MgL-mgL=$\frac{1}{2}$(M+m)v2
将v代入,整理得:M=$\sqrt{2}m$
故当$\frac{M}{m}>\sqrt{2}$时,B物块将不会着地.
(3)由(2)分析知,若$\frac{M}{m}<\sqrt{2}$,B物体着地后,A还会现上升一段,设上升的高度为h,B着地时AB整体的=速度大小为v1,从C着地至B着地过程中根据动能定理可得:
$-MGL+mgL=\frac{1}{2}(M+m)({v}_{1}^{2}-{v}^{2})$
得:${v}_{1}^{2}=\frac{4(2{m}^{2}-{M}^{2})gL}{(m+M)(2m+M)}$
B着地后A继续上升的高度
$h=\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$=$\frac{2(2{m}^{2}-{M}^{2})L}{(m+M)(2m+M)}$
所以A上升的最大高度H=2L+h=2L+$\frac{2(2{m}^{2}-{M}^{2})L}{(m+M)(2m+M)}$
答:(1)C刚着地时的速度v=$\sqrt{\frac{2(2m-M)gL}{2m+M}}$;
(2)若B不能着地,求M/m满足$\frac{M}{m}>\sqrt{2}$;
(3)若B能着地,物块A距离最初位置上升的最大高度2L+$\frac{2(2{m}^{2}-{M}^{2})L}{(m+M)(2m+M)}$.

点评 本题关键是要灵活地选择研究对象,虽然单个物体机械能不守恒,但系统机械能守恒;要注意正确选择研究对象.

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