Question

8．某同学自制了由两个四分之一的光滑圆弧组成的斜面，两圆弧在O点平滑对接，两圆弧的圆心O₁、O₂与O点在同一竖直线上，如图所示，已知两圆弧的半径均为R，现将一质量为m的小球从AO弧上某点P由静止释放，已知重力加速度为g．关于小球的运动，下列说法正确的是（　　）

• A． 当小球从A点释放时，则小球运动到O点时对圆弧的压力为3mg
• B． 当∠PO₁O=45°时，则小球运动到O点时恰好做平抛运动
• C． 当小球运动到O点时恰好做平抛运动，则落地点距O₂为$\sqrt{2}$R
• D． 若P点选择合适，可以使得小球沿下圆弧一直运动到B点

Answer 1

分析 根据向心力公式和动能定理求出小球到O点时对轨道的压力，在下轨道的最高点$v=\sqrt{gR}$，类似汽车过拱桥最高点，将做平抛运动，根据平抛运动的规律求水平位移，小球在下圆弧轨道上，物块受到重力和支持力，根据牛顿第二定律分析即可求解

解答 解：A、从A→O根据动能定理$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
${v}_{0}^{\;}=\sqrt{2gR}$
在O点，由向心力公式得${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：${F}_{N}^{\;}=3mg$
根据牛顿第三定律小球运动到O点时对圆弧的压力等于圆弧对轨道的压力3mg，故A正确．
B．、当∠PO₁O=45°时，根据动能定理，有$mg\frac{R}{2}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{'2}$
${v}_{0}^{'}=\sqrt{gR}$
小球在${O}_{2}^{\;}$圆弧的最高点，有$mg-{F}_{N}^{\;}=m\frac{{v}_{0}^{'2}}{R}$
得${F}_{N}^{\;}=0$
小球在最高点只受重力，做平抛运动，故B正确
C、离开O点做平抛运动，$R=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
$x={v}_{0}^{′}t$
解得$x=\sqrt{2}R$，故C正确．
D、在下圆弧轨道上，物块只受重力和支持力，运用正交分解法，设物块与圆心连线与竖直方向的夹角为θ，有$mgcosθ-{F}_{N}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，随着θ增加，速度增加，${F}_{N}^{\;}$减小，到某一位置${F}_{N}^{\;}=0$，物块脱离轨道．故D错误
故选：ABC

点评 ABC是常规题，D选项有一定难度．本题的D选项可以证明当从静止开始从下圆弧轨道最高点释放，在距地面$h=\frac{2}{3}R$处时脱离轨道，本题中从上圆弧适当位置释放，到达下圆弧最高点已有速度，比静止时先脱离轨道．