Question

16．如图，虚线是场区的分界面，竖直而平行，Ⅰ区是水平向右的匀强电场，电场强度是E，场区宽度是L，Ⅱ、Ⅲ区都是垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度分别B和2B，一个电荷量是q、质量是m的正电荷，不计重力，从MN边界上的a点静止开始运动，通过磁场区Ⅱ时，速度方向偏转了30°，进入磁场区Ⅲ后，能按某一路径返回到电场区Ⅰ的边界MN上的某一点b，（b点未画出），求此粒子从a回到b的整个过程．
（1）最大速度；    
（2）运动时间；
（3）ab间的距离．

Answer 1

分析 （1）粒子在第一次离开电场时的速度最大，根据动能定理可求得最大速度；
（2）分析粒子的运动过程，分别由求在电场和磁场中的运动时间即可求得总时间，注意在磁场中要注意找出圆心和半径，从而确定转过的圆心角；
（3）根据作出的运动轨迹图进行分析，由几何关系即可确定对应的距离．

解答 解：
（1）当粒子离开电场时的速度达最大，则有动能定理可得：
$qEL=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：
$v=\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$
（2）粒子在电场中的运动时间t₁=$\frac{2L}{\frac{v}{2}}$=2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
由周期公式可得：T₁=$\frac{2πm}{Bq}$；
T₂=$\frac{πm}{Bq}$
粒子在磁场中运动轨迹如题图所示；
粒子在磁场区Ⅱ中是两段圆心角是30°的圆弧，在磁场区Ⅲ中是一段圆心角是120°的圆弧
则可知磁场中的总时间t'=2×$\frac{30}{360}×\frac{2πm}{Bq}$+$\frac{120}{360}×\frac{πm}{Bq}$=$\frac{2πm}{3qB}$
所以总时间：$t=2\sqrt{\frac{2mL}{qE}}+\frac{2π\;m}{3qB}$
（3）由R=$\frac{mv}{Bq}$可得：
粒子第一次通过磁场区Ⅱ时圆心是O₁，圆半径R_Ⅱ=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$，
通过磁场区Ⅲ时半径减半，圆心是O₂，R_Ⅲ=$\frac{1}{2B}\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$，
第二次通过磁场区Ⅱ时圆心是O₃，半径为R_Ⅱ不变
由几何关系可知：
ab=2R_Ⅱ（1-cos30°）+2R_Ⅲcos30°=$\frac{{4-\sqrt{3}}}{B}\sqrt{\frac{mEL}{2q}}$
答：（1）最大速度为$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$
（2）运动时间为2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{2πm}{3qB}$
（3）ab间的距离为$\frac{{4-\sqrt{3}}}{B}\sqrt{\frac{mEL}{2q}}$

点评 本题考查带电粒子在磁场和电场中的运动规律，要注意正确分析物理过程，在电场中优先利用动能定理进行分析，而在磁场中要注意正确应用几何关系确定圆心和半径，牢记半径公式和周期公式即可分析求解．