Question

18．如图所示，x轴上方有垂直xOy平面向里、范围足够大的匀强磁场I，质量为m、电荷量为-q（q＞0）的粒子在xOy平面内运动．某时刻粒子经过y轴上y=a的P点，速度方向与y轴正方向的夹角θ=30°、经过时间t₀粒子经过x轴，速度方向与粒子在P点的速度方向相反．不计粒子的重力，
（1）求粒子运动的速度v₀和磁场I的磁感应强度大小B₁；
（2）若粒子以第（1）问中的速度v₀经过P点时，在x轴上方再叠加一个方向垂直xOy平面的匀强磁场Ⅱ，使粒子能在磁场中做完整的圆周运动，求匀强磁场Ⅱ的磁感应强度B₂应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）由几何知识得到粒子圆周运动的半径，由弧长除以时间得到速率；由题意易得粒子运动的周期，由周期公式得到磁场强度；
（2）匀强磁场Ⅱ的磁感应强度B₂的方向有两种情况：①B₂与B₁同方向，粒子顺时针转动，②B₂与B₁反向，粒子逆时针转动，分两情况讨论；粒子能在磁场中做完整的圆周运动则其轨迹必定与x轴相切，由几何知识得到粒子圆周运动的半径，由洛伦兹力提供向心力讨论匀强磁场Ⅱ的磁感应强度B₂应满足的条件；

解答 解：（1）经过x轴时速度方向与粒子在P点的速度方向相反，故粒子在磁场中运动半周，v₀t₀=πr，
有几何关系可知，圆周运动的半径r=a，
解得：${v}_{0}=\frac{πa}{{t}_{0}}$
由洛伦兹力提供向心力可知：q${{v}_{0}B}_{1}=\frac{{mv}_{0}^{2}}{r}$
解得：B₁=$\frac{πm}{{qt}_{0}}$
（2）有两种情况：
①B₂与B₁同向，粒子顺时针转动，若最大半径为r₁，对应的（B₁+B₂）最小，这时有：
qv₀（B₁+B₂）=$\frac{{mv}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$
其中，r₁+r₁sin30°=a，
所以r₁=$\frac{2a}{3}$
解得：${B}_{2}=\frac{πm}{2{qt}_{0}}$
所以当B₂方向垂直xoy平面向里时，应满足B₂≥$\frac{πm}{2{qt}_{0}}$
②B₂与B₁反向，粒子逆时针转动的半径最大（设为r₂）时，对应的（B₂-B₁）最小，
这时有：${qv}_{0}{（B}_{2}{-B}_{1}）=\frac{{mv}_{0}^{2}}{{r}_{2}}$
而r₂-r₂sin30°=a，
解得：${B}_{2}=\frac{3πm}{2{qt}_{0}}$
所以B₂方向垂直xoy平面向外时，应满足：${B}_{2}≥\frac{3πm}{2{qt}_{0}}$
答：（1）求粒子运动的速度为$\frac{πa}{{t}_{0}}$，磁场I的磁感应强度大小为$\frac{πm}{{qt}_{0}}$；
（2）当B₂方向垂直xoy平面向里时，应满足B₂≥$\frac{πm}{2{qt}_{0}}$，B₂方向垂直xoy平面向外时，应满足：${B}_{2}≥\frac{3πm}{2{qt}_{0}}$

点评 本题考查带电粒子在电场中和磁场中的运动，理清粒子的运动规律是解决本题的关键，处理粒子在磁场中运动问题，要会确定粒子做圆周运动的圆心、半径和圆心角，此类题型难度较大，经常作为考试的压轴题出现．