Question

7．小球以初速度v₀正对着倾角为θ的斜面水平抛出，小球恰好垂直撞上斜面．
求：（1）小球撞上斜面时速度与水平面的夹角；
（2）小球在空中运动的时间和小球撞上斜面的速度大小；
（3）小球撞上斜面时的下落竖直高度和水平位移；
（4）小球撞上斜面的位移大小和方向．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系即可求出小球撞上斜面时与水平面的夹角．
（2）根据平行四边形定则求出小球撞在斜面上竖直分速度，结合平行四边形定则求出小球从O点运动到斜面的时间，根据运动的合成和分解可明确小球的合速度．
（3）根据水平位移和竖直位移，结合几何关系求出O点距斜面底端的高度和水平位移．
（4）根据运动的合成即可求出小球撞上斜面的位移大小和方向．

解答 解：（1）小球垂直撞在斜面上，有几何关系可知，速度与水平面的夹角为90°-θ，如图：

（2）小球垂直撞在斜面上，根据平行四边形定则知，
$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=tan（90°-θ）$，
解得v_y=v₀•tan（90°-θ）=$\frac{{v}_{0}}{tanθ}$
则小球的运动时间t=$\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{{v}_{0}}{g•tanθ}$．
由几何关系，合速度：$v=\frac{{v}_{0}}{cos（90°-θ）}$=$\frac{{v}_{0}}{sinθ}$
（3）小球的水平位移x=${v}_{0}t=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{gtanθ}$，
竖直位移y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2gta{n}^{2}θ}$
（4）小球撞上斜面的位移大小：
s=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2gtanθ}•\sqrt{4+\frac{1}{ta{n}^{2}θ}}$
位移与水平方向之间的夹角为α，则：
$tanα=\frac{y}{x}=\frac{\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2gta{n}^{2}θ}}{\frac{{{v}_{0}}^{2}}{gtanθ}}=\frac{1}{2tanθ}$
答：（1）小球撞上斜面时速度与水平面的夹角是90°-θ；
（2）小球在空中运动的时间是$\frac{{v}_{0}}{g•tanθ}$；小球撞上斜面的速度大小是$\frac{{v}_{0}}{sinθ}$；
（3）小球撞上斜面时的下落竖直高度是$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2gta{n}^{2}θ}$，水平位移是$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{gtanθ}$；
（4）小球撞上斜面的位移大小是$\frac{{v}_{0}^{2}}{2gtanθ}•\sqrt{4+\frac{1}{ta{n}^{2}θ}}$，位移方向与水平方向之间的夹角满足$tanα=\frac{1}{2tanθ}$．

点评 该题虽然要求解的问题比较多，但都是平抛运动的基本问题，解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解，难度中等．