题目内容

8．如图所示为一倾角为θ的粗糙传送带，两个轻质弹簧之间有一质量为m的光滑重物A，最下端挂一质量为4m的重物B，两弹簧的劲度系数分别为k1、k2（k1=k，k2=2k）．开始时传送带静止不动，重物B不受传送带的摩擦力．现让传送带开始沿顺时针方向缓慢地加速转动，直至两弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和时保持转速恒定不变，弹簧始终在弹性限度范围内．求；
（1）当传送带静止不动时两弹簧各自伸长了多少？
（2）当传送带的转速达到恒定不变时，A、B分别向上移动了多大的距离？
（3）传送带和重物B之间的动摩擦因数μ为多大？

分析 （1）分别对两个物体减小受力分析，结合共点力平衡的条件即可求出；
（2）由题，两弹簧的总长等于两弹簧的原长之和，则知，k1的伸长量与k2的压缩量相等，由m1重物平衡可求出k1轻弹簧的形变量；先求出k1原来的伸长量，再由几何关系求出m1上移的距离；
（3）当上面弹簧处于原长时，对B物体受力分析，根据胡克定律和平衡条件列式求解．

解答 解：（1）传送带静止不动时，在沿斜面的方向上，有：
k2x2=m2gsinθ    ①
所以：${x}_{2}=\frac{{m}_{2}gsinθ}{{k}_{2}}=\frac{4mgsinθ}{2k}=\frac{2mgsinθ}{k}$
k2x2+m1gsinθ=k1x1 ②
所以：${x}_{1}=\frac{{m}_{1}gsinθ+{m}_{2}gsinθ}{{k}_{1}}=\frac{5mgsinθ}{k}$
（2）当传送带向上运动时，当两弹簧的总长度等于两弹簧原长之和时，k1的伸长量与k2的压缩量相等，设为x，则对m1有：
k1x+k2x=m1gsinθ   ③
得：x=$\frac{{m}_{1}gsinθ}{{k}_{1}+{k}_{2}}=\frac{mgsinθ}{3k}$
又由于m1向上的位移：d1=x1-x     ④
m2向上的位移：d2=x2+x1 ⑤
由①②③④⑤得：
${d}_{1}=\frac{14mgsinθ}{3k}$；${d}_{2}=\frac{7mgsinθ}{3k}$     ⑥
（3）当重新平衡后，m2受到的摩擦力的方向向上，弹簧的弹力的方向向下，对m2有：
f=k2x+m2gsinθ     ⑦
又：f=μFN=μm2cosθ     ⑧
由⑦⑧得：μ=$\frac{7}{6}tanθ$
答：（1）当传送带静止不动时两弹簧各自伸长了$\frac{5mgsinθ}{k}$和$\frac{2mgsinθ}{k}$；
（2）当传送带的转速达到恒定不变时，A、B分别向上移动了$\frac{14mgsinθ}{3k}$和$\frac{7mgsinθ}{3k}$；
（3）传送带和重物B之间的动摩擦因数μ为$\frac{7}{6}tanθ$．

点评 本题是平衡条件和胡克定律的综合应用，关键要受力分析，根据平衡条件列式，不难．

练习册系列答案
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指针P1P2P3P4P5P6
x0（cm）2.044.066.068.0510.0312.01
x（cm）2.645.267.8110.4012.9815.56
利用所得实验数据进一步计算每一段弹簧的伸长量，请将下表中的数据补充完整．
研究区域P0P1P0P2P0P3P0P4P0P5P0P6
伸长量/cm0.601.201.752.352.953.55
在一定的误差允许范围内，由以上数据可以得到的结论是：在相同拉力作用下弹簧的伸长量与弹簧的原长成正比，进一步分析可知：弹簧的劲度系数与弹簧原长成反比．
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