Question

11．如图所示，AB为固定在竖直平面内的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，其半径为R，轨道的B点与水平地面相切，质量为m的小球由A点以速度v₀=$\sqrt{gR}$向下运动，求：
（1）小球滑到最低点B时，速度v的大小；
（2）小球到达最低点B时，轨道对小球支持力F_N的大小；
（3）小球通过光滑的水平面BC后，滑上粗糙的固定曲面CD，恰好到达最高点D，D到地面的高度为h，则小球在曲面CD上克服摩擦力所做的功W_f为多少？

Answer 1

分析 （1）小球下滑过程机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出小球的速度．
（2）小球做圆周运动，由牛顿第二定律可以求出支持力．
（3）由动能定理可以求出=克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）小球沿圆弧下滑过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₀²+mgR=$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=$\sqrt{3gR}$；
（2）小球做圆周运动，在最低点，由牛顿第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：F_N=4mg；
（3）从B到D点过程，由动能定理得：
-mgh-W_克=0-$\frac{1}{2}$mv²，
解得：W_克=mg（1.5R-h）．
答：（1）小球滑到最低点B时，速度v的大小为$\sqrt{3gR}$；
（2）小球到达最低点B时，轨道对小球支持力F_N的大小为4mg；
（3）小球在曲面CD上克服摩擦力所做的功W_克为mg（1.5R-h）．

点评 本题考查了求速度、支持力、克服摩擦力做的功，分析清楚小球的运动过程、应用机械能守恒定律、牛顿第二定律、动能定理即可正确解题．