题目内容

2．一质量为m=2kg的小滑块，从倾角为37°的光滑斜面上的A点由静止滑下，斜面在B处与一水平传送带平滑连接，传送带左端C与一竖直光滑半圆弧平滑连接，已知斜面AB长0.75m，圆弧轨道半径为0.15m，D为圆弧上与圆心等高的点，E为圆弧轨道最高点，滑块与传送带间的动摩擦因数μ=0.3，重力加速度g取10m/s2．
（1）当传送带静止时，滑块恰好能滑到D点，求B，C两点间的距离；
（2）若传送带顺时针转动，从A点以一定初速度下滑的小滑块恰好能通过最高点E，求小滑块的初速度大小；
（3）若传送带逆时针转动，从A点由静止释放的小滑块能通过最高点E，求传送带的最小速度及此过程小滑块B到C的时间．

分析 （1）整个过程中能量守恒，求出初始和末势能后作差，即为摩擦力在BC上做的负功，可得BC距离；
（2）若传送带顺时针转动，摩擦力始终水平向右，做负功，根据能量守恒可求初动能，进而求出初速度；
（3）若传送带逆时针转动，且速度较小时，摩擦力水平向右，运动过程是先减速，减速到和传送带速度相同时，匀速运动；
用临界分析法，假设物块刚好能通过E点，求出通过C点时的速度，即为传送带的最小速度；
物块从B到C的过程，分段分别求出匀减速运动时间和匀速时间求和即得答案．

解答 解：（1）设BC间距离为s，BC间物块所受摩擦力大小为：f=μmg=0.3×2×10=6N；
当传送带静止时，摩擦力做负功，大小为：WBC=fs
以BC面为零势能面，则初始势能为：Ep0=mglABsin37°=2×10×0.75×0.6=9J
末势能：Ep1=mghD=2×10×0.15=3J
整个过程中能量守恒，则：Ep0=Ep1+WBC
代入数据解得：s=1m；
（2）设初速度为v，则初始动能为：EK=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
初始势能仍为Ep0
BC段摩擦力做负功，大小仍为WBC
末势能为：Ep2=mg2R=2×10×2×0.15=6J
整个过程中能量守恒得：EK+Ep0=WBC+Ep2
代入数据得，小滑块的初速度：v=$\sqrt{3}$m/s；
（3）假设刚好能通过E点，设通过C点的速度即传送带的最小速度为v′，
则$\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$=EP2
而m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}=mg$
代入数据得传送带的最小速度：v′=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$m/s
由从静止释放物块，得通过B的速度v″满足：$\frac{1}{2}mv{″}^{2}=mg{l}_{AB}•sinθ$
代入数据解得：v″=3m/s
根据牛顿第二定律，得匀减速过程加速度为：a=$\frac{f}{m}=\frac{6}{2}=3m/{s}^{2}$
由速度时间公式得，匀减速过程用时：$t′=\frac{v′-v″}{-a}$=$\frac{3-\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3}$==1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（s）
位移为：${s}_{1}=\frac{v{′}^{2}-v{″}^{2}}{-2a}=0.5m$
由位移时间公式得，匀速过程所用时间：t″=$\frac{s-{s}_{1}}{v′}=\frac{1-0.5}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}（s）$
总用时：t1=t′+t″，
代入数据得：t1=1$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$+\frac{\sqrt{2}}{6}$=1$-\frac{\sqrt{2}}{3}$（s）
答：（1）B，C两点间的距离为1m；
（2）小滑块的初速度大小为$\sqrt{3}$m/s；
（3）传送带的最小速度为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$m/s，此过程小滑块B到C的时间为（1-$-\frac{\sqrt{2}}{3}$）s．

点评 本题主要考察摩擦力的方向和做功，用全过程能量守恒可以简化思维过程和计算步骤．

练习册系列答案
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