Question

4．如图（a）所示，MN是长为a倾斜放置的光滑绝缘细杆，倾角为37°，MNP构成一直角三角形．MP中点处固定一电量为Q的正电荷，杆上穿有一带正电的小球（可视为点电荷），小球自N点由静止释放，小球的重力势能和电势能随MN上位置x（取M点处x=0）的变化图象如图（b）所示，其中E₀、E₁、E₂为已知量，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，静电力常量为k，重力加速度为g．（不得使用E_p=-$\frac{k{q}_{1}{q}_{2}}{r}$）
（1）求势能为E₁时的横坐标x₁和带电小球的质量m
（2）已知在x₁处时小球与杆间的弹力恰好为零，求小球的电量q
（3）求小球运动到M点时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）由几何关系求出x₁的位置坐标，利用E₁=mgh即可求小球的质量；
（2）根据受力分析利用垂直于斜面方向合力为零，由库仑定律和平衡条件列式，即可求的电荷量q；
（3）对于小球的运动过程，利用动能定理求到M点时的速度．

解答 解：（1）根据Q电荷的电场线的分布可知电场力先对带电小球做负功，后做正功，故电势能先增大后减小，故图（b）中表示电势能随位置变化的是图线Ⅱ．
势能为E₁时的横坐标为：x₁=acos37°•$\frac{1}{2}$•cos37°=0.32a               
x₁处重力势能为：E₁=mgx₁sin37°             
则有：m=$\frac{{E}_{1}}{g{x}_{1}sin37°}$=$\frac{{E}_{1}}{0.192ga}$=$\frac{125{E}_{1}}{24ga}$
（2）在x₁处，根据受力分析可知
 k$\frac{Qq}{{r}^{2}}$=mgcos37°，其中r=x₁tan37°=0.24a      
带入数据，得：q=$\frac{6{E}_{1}a}{25kQ}$                    
（3）根据动能定理有：mga sin37°+E₂-E₀=$\frac{1}{2}$mv²       
带入数据，得：v=$\sqrt{\frac{150{E}_{1}+48{E}_{2}-48{E}_{0}}{125{E}_{1}}ga}$
答：（1）势能为E₁时的横坐标x₁和带电小球的质量m分别为0.32a、$\frac{125{E}_{1}}{24ga}$．
（2）小球的电量q为$\frac{6{E}_{1}a}{25kQ}$．
（3）小球运动到M点时的速度大小为$\sqrt{\frac{150{E}_{1}+48{E}_{2}-48{E}_{0}}{125{E}_{1}}ga}$．

点评 分析电场的分布情况及小球的运动情况，通过电场力做功来判断电势能的变化从而判断出图象，再根据平衡条件和动能定理进行处理．