Question

17．如图所示，在第一象限内，0＜x≤a的区域中有垂直于纸面向里的匀强磁场，已知磁感应强度的大小为B₁；x＞a的区域中有垂直于纸面向外的匀强磁场，在原点O处有一小孔，一束质量为m、电荷量为q带正电的粒子，沿着x轴方向以不同的速率经小孔射入磁场，且速率最大的粒子在0＜x≤a区域内运动的时候转过的圆心角为60°，它最终从x轴离开磁场时速度方向与x轴负方向的夹角为30°，不计粒子重力，求：
（1）从y轴离开磁场的粒子，在y轴上的出射点到O点的最大距离；
（2）x＞a区域磁感应强度的大小B₂；
（3）在x＞a区域中所有粒子轨迹的最高点的y坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）打到y轴上的粒子均沿半个圆周运动，离O最远的粒子轨迹刚好与两磁场交界线相切，画出轨迹即可求解；
（2）根据速度最大的粒子在0＜x≤a中运动时间求出其对应的圆心角，根据几何关系求出半径，通过x＞a的区域后，离开磁场时速度方向与x轴负方向的夹角为30°，画出运动的轨迹，确定圆心的位置，根据几何关系即可求得轨迹的半径，然后又半径公式即可求出；
（3）恰好进入x＞a的区域的粒子向上的位移最大，画出粒子运动轨迹，根据几何关系最高点的y坐标的取值范围．

解答 解：（1）打到y轴上的粒子均沿半个圆周运动，离O最远的粒子轨迹刚好与两磁场交界线相切（如图轨迹①）
则R=a
所以：y_max=2R=2a
（2）速度最大的粒子在0＜x≤a中运动的偏转角是60°，其对应的圆心角为60°，所以R′=$\frac{a}{sin60°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$
通过x＞a的区域后，最终从x轴离开磁场时速度方向与x轴负方向的夹角为30°，画出运动的轨迹如图（如图轨迹②）
由几何关系可知，对应的圆心角为210°，
由图中几何关系可得轨迹的半径：r•co30°+rcos60°=DE，
$DE=R′-R′cos60°=\frac{1}{2}R′=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
所以：$r=\frac{2DE}{1+\sqrt{3}}$=$\frac{2a}{3+\sqrt{3}}$
由洛伦兹力提供向心力得：$q{v}_{m}•{B}_{1}=\frac{m{v}_{m}^{2}}{R′}$
又$q{v}_{m}•{B}_{2}=\frac{m{v}_{m}^{2}}{r}$
所以：${B}_{2}=（1+\sqrt{3}）{B}_{1}$
（3）恰好穿过x=a的粒子运动的方向向上，其轨迹如图中③．
该粒子在x＜a的范围内的半径为R，则：$R=\frac{mv}{q{B}_{1}}$
该粒子在x＞a的范围内的半径为R″，则：$R″=\frac{mv}{q{B}_{2}}$
联立得：$R″=\frac{a}{1+\sqrt{3}}$
所以粒子到达的最高点的高度：${h}_{max}=R+R″=\frac{2+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}a$
当粒子的速度最大时，粒子到达的最高点是所有粒子中最低的，其高度：h_min=R′（1-cos60°）+r（1-cos60°）=$\frac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}a$
所以，在x＞a区域中所有粒子轨迹的最高点的y坐标的取值范围是：$\frac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}a≤y≤\frac{2+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}a$
答：（1）y轴上粒子射出点到原点O的最大距离为2a；
（2）x＞a区域磁感应强度的大小是$（1+\sqrt{3}）{B}_{1}$；
（3）在x＞a区域中所有粒子轨迹的最高点的y坐标的取值范围是$\frac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}a≤y≤\frac{2+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}a$．

点评 该题考查带电粒子在磁场中的运动，带电粒子在磁场中运动的题目解题步骤为：定圆心、画轨迹、求半径，同时还利用圆弧的对称性来帮助解题．