Question

2．如图图甲所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，其余三点坐标为：A（0，l）、B（l，l）、C（l，0），在OABC区域（包括坐标轴）存在变化的磁场，磁感应强度变化规律如图乙所示，规定磁场方形垂直平面向里为正，有一个带电荷量为-q（q＞0）、质量为m的粒子（不计重力），从坐标原点处以速度v（大小未知）沿y轴正方向射入磁场，已知图乙中B₀＞$\frac{3mv}{ql}$．
（1）若粒子从x轴射出，求磁场变化周期T₀的取值范围；
（2）若粒子从B点沿y轴正方形射出磁场，求：
①磁场变化的周期T₀；
②粒子射入磁场的速度v的取值．

Answer 1

分析 （1）要使粒子从x轴射出，粒子在磁场中运动时间t为其周期的一半，必须满足t≤$\frac{{T}_{0}}{2}$．
（2）若粒子从B点沿y轴正方形射出磁场，画出运动轨迹，由周期性写出粒子运动时间与周期的关系，从而求解．由几何关系求出轨迹半径，由牛顿第二定律求v．

解答 解：（1）粒子在磁场中运动时，有 qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，则 r=$\frac{mv}{q{B}_{0}}$
运动周期 T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
若粒子从x轴射出，则粒子在磁场中运动时间 t=$\frac{T}{2}$=$\frac{πm}{q{B}_{0}}$
磁场变化周期T₀必须满足：t≤$\frac{{T}_{0}}{2}$
解得 T₀≥$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$．
（2）若粒子从B点沿y轴正方形射出磁场，则
①粒子在磁场中运动的时间 t=nT₀，n=1，2，3，…
又 t=2n•$\frac{T}{4}$
联立解得磁场变化的周期 T₀=$\frac{πm}{q{B}_{0}}$
②设粒子的轨迹半径为R．由几何关系应有：2n•$\sqrt{2}$R=$\sqrt{2}$l
故 R=$\frac{l}{2n}$，n=1，2，3，…
由r=$\frac{mv}{q{B}_{0}}$得
粒子射入磁场的速度 v=$\frac{q{B}_{0}l}{2mn}$，n=1，2，3，…．
答：（1）若粒子从x轴射出，磁场变化周期T₀的取值范围为T₀≥$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$．
（2）若粒子从B点沿y轴正方形射出磁场，求：
①磁场变化的周期T₀为$\frac{πm}{q{B}_{0}}$．
②粒子射入磁场的速度v的取值为$\frac{q{B}_{0}l}{2mn}$，n=1，2，3，…．

点评 带电粒子在复合场中的运动，重点就是运动分析，要着重掌握圆周运动的规律，还有相应的数学知识，做到能准确找出圆心，明确运动的轨迹．