Question

10．如图所示，P为位于某一高度处的质量为m的物块，Q为位于水平地面上的质量为M的特殊平板，$\frac{m}{M}$=$\frac{1}{2}$，平板与地面间的动摩擦因数μ=0.1．在板的上表面的上方，存在一定厚度的“相互作用区域”，区域的上边界为MN，如图中划虚线的部分．当物块P进入相互作用区域时，P、Q之间便有相互作用的恒力F=11mg，其中Q对P的作用力竖直向上，F对P的作用使P不与Q的上表面接触．在水平方向上，P、Q之间没有相互作用力．已知物块P开始下落的时刻，平板Q向右的速度为v₀=10m/s，P从开始下落到刚到达“相互作用区域”所经历的时间为t₀=1.0s．平板Q足够长，空气阻力不计，g取10m/s²．求：
（1）物块P在相互作用区域中运动时P、Q加速度的大小；
（2）从P开始下落至第一次运动到最低点过程中P在相互作用区域运动的时间t及此过程Q的位移；
（3）从P开始下落至平板Q的速度为零时，P一共回到出发点几次？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求P、Q的加速度；
（2）注意当物块P到达相互作用区域时，Q对地面的压力增大，因此摩擦力发生变化，其运动的加速度也发生变化，理清其加速度的变化情况，然后根据运动规律；
（3）物块P进入相互作用区域和离开时加速度不同，而且具有周期性，然后根据速度与时间的关系求解即可．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律，得：
对P：$F-mg=m{a}_{p}^{\;}$
对Q：$μ（F+Mg）=M{a}_{Q}^{\;}$
解得：a_P=100m/s²，a_Q=6.5m/s²
（2）P进入相互作用区域时的速度v_P=gt₀=10m/s
P在相互作用区域运动的时间$t=\frac{{v}_{p}^{\;}}{{a}_{p}^{\;}}=0.1s$
设P开始下落至进入区域前Q的加速度为a_Q0，
根据第二定律，得μMg=Ma_Q0
解得：a_Q0=1m/s²
由运动学公式，得：
Q在此过程的位移：${x}_{1}^{\;}={v}_{0}^{\;}{t}_{0}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{q0}^{\;}{t}_{0}^{2}=10×1-\frac{1}{2}×1×{1}_{\;}^{2}$=9.5m
P刚到达相互作用区域时Q的速度为v₁=v₀-a_Q0t₀=9 m/s
P进入相互作用区域至运动到最低点过程中，Q的位移：
${x}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}t-\frac{1}{2}{a}_{Q}^{\;}{t}_{\;}^{2}≈0.87m$
故Q的位移为x=x₁+x₂=10.37m
（3）设板Q速度为零时，P一共回到出发点n次．则：
v₀-2na_Q0t₀-2na_Qt=0
代入数据，解得n=3.03
故n取3
答：（1）物块P在相互作用区域中运动时P、Q加速度的大小$6.5m/{s}_{\;}^{2}$
（2）从P开始下落至第一次运动到最低点过程中P在相互作用区域运动的时间t为0.1s及此过程Q的位移10.37m；
（3）从P开始下落至平板Q的速度为零时，P一共回到出发点3次

点评 本题的难点是对Q正确进行受力分析，弄清楚其加速度的变化，从而明确运动规律，然后根据运动学规律或者功能关系求解．