Question

15．如图，质量为m₁的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m₂的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ=37°，物体甲及人均处于静止状态．已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度g=10m/s²．
（1）轻绳OA、OB受到的拉力是多大？
（2）人受到的摩擦力是多大？方向如何？
（3）若人的质量m₂=60kg，人与水平面间的动摩擦因数为μ=0.3，则欲使人在水平面上不滑动，物体甲的质量m₁最大不能超过多少？

Answer 1

分析 （1）以结点O为研究对象，分析受力，作出力图，根据平衡条件求出轻绳OA、OB受到的拉力．
（2）乙物体水平方向受到OB绳的拉力和水平面的静摩擦力，由二力平衡求解乙受到的摩擦力大小和方向．
（3）当乙物体刚要滑动时，物体甲的质量m₁达到最大，此时乙受到的静摩擦力达到最大值F_max=μm₂g，再平衡条件求出物体甲的质量．

解答 解：（1）以结点O为研究对象，如图，由平衡条件有：

F_0B-F_OAsinθ=0
F_0Acosθ-m₁g=0
联立得：
${F_{OA}}=\frac{{{m_1}g}}{cosθ}=\frac{5}{4}{m_1}g$
${F_{OB}}={m_1}gtanθ=\frac{3}{4}{m_1}g$
故轻绳OA、OB受到的拉力分别为$\frac{5}{4}{m_1}g$、$\frac{3}{4}{m_1}g$；
（2）人水平方向受到OB绳的拉力和水平面的静摩擦力，受力如图所示，由平衡条件得：

$f={F_{OB}}=\frac{3}{4}{m_1}g$，方向水平向左；                
（3）当甲的质量增大到人刚要滑动时，质量达到最大，此时人受到的静摩擦力达到最大值．
当人刚要滑动时，静摩擦力达到最大值f_m=μm₂g
由平衡条件得：F_OBm=f_m
又   ${F_{OBm}}={m_{1m}}gtanθ=\frac{3}{4}{m_{1m}}g$
联立得：${m_{1m}}=\frac{{4{F_{OBm}}}}{3g}=\frac{{4μ{m_2}g}}{3g}=24kg$
即物体甲的质量m₁最大不能超过24kg．   
答：（1）轻绳OA、OB受到的拉力分别为$\frac{5}{4}{m_1}g$、$\frac{3}{4}{m_1}g$；
（2）人受到的摩擦力大小为是$\frac{3}{4}{m_1}g$，方向水平向左；
（3）物体甲的质量m₁最大不能超过24kg．

点评 本题涉及共点力平衡中极值问题，当物体刚要滑动时，物体间的静摩擦力达到最大．