Question

6．如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有正交的匀强磁场和匀强电场，匀强磁场沿水平方向且垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B，匀强电场沿x轴负方向、场强大小为E．在其第一象限空间有沿y轴负方向的、场强大小为E′=$\frac{4}{3}$E的匀强电场．一个电荷量的绝对值为q的油滴从图中第三象限的P点获得一初速度，恰能沿PO作直线运动（PO与x轴负方向的夹角为θ=37°），并从原点O 进入第一象限．已知重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力．问：
（1）油滴的电性及在P点获得的初速度大小；
（2）在第一象限的某个长方形区域再加上一个垂直于纸面向里的、磁感应强度也为B 的匀强磁场，且该长方形区域的下边界在x轴上，上述油滴进入第一象限后恰好垂直穿过x轴离开第一象限，求油滴在第一象限内运动的时间；
（3）上述所加长方形磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）油滴在复合场中做直线运动，垂直速度方向的合力一定为零，受力分析即可判断；
（2）利用洛伦兹力提供向心力求出粒子半径，结合几何关系，分别求出油滴在第一象限做匀速直线运动的时间，再利用粒子转过的圆心角求出做匀速圆周运动的时间，加和即可；
（3）画出磁场区域，利用几何关系求出其最小面积．

解答 解：（1）假设油滴带正电，受力分析如图所示．

因为要保证垂直速度方向合力为零，油滴一定做减速运动，这时洛仑兹力在变化，
导致垂直速度方向的力发生变化，油滴不可能做直线运动，故假设不成立；
所以油滴一定带负电，油滴受三个力作用，如图所示，

从P到O沿直线必为匀速运动，设油滴质量为m：
由平衡条件有：qvBsin37°=qE，mgtan37°=qE
可得：粒子质量m=$\frac{4qE}{3g}$，粒子速度v=$\frac{5E}{3B}$ 
（2）油滴进入第一象限：
电场力大小：F′=qE′=$\frac{4}{3}$qE  
重力：G=mg=$\frac{4qE}{3g}$•g=$\frac{4}{3}$qE

分别做匀速直线运动和匀速圆周运动，
路径如图，最后垂直于x轴从N点离开第一象限．
根据洛伦兹力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，可得：r=$\frac{mv}{qB}$
代入m、v的结果可得：r=$\frac{20{E}^{2}}{9g{B}^{2}}$
油滴在第一象限先做匀速直线运动，后做匀速圆周运动
根据几何关系有：
直线运动路程S₁=$\frac{r}{tanθ}$ 
圆周运动路程S₂=$\frac{127}{360}$•2πr
在第一象限运动时间：t=$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{v}$=$\frac{（240+127π）E}{135gB}$
（3）根据结合关系可知：
长方形磁场区域的高的最小值：h=r     
长方形磁场区域的宽的最小值：l=r（1+sinθ）
故长方形磁场区域的最小面积：S_min=r•r（1+sinθ） 
解得：S_min=$\frac{640{E}^{4}}{81{g}^{2}{B}^{4}}$
答：（1）油滴带负电，在P点获得的初速度大小为$\frac{5E}{3B}$；
（2）油滴在第一象限内运动的时间为$\frac{（240+127π）E}{135gB}$；
（3）上述所加长方形磁场区域的最小面积为$\frac{640{E}^{4}}{81{g}^{2}{B}^{4}}$．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，第（1）问要对油滴进行受力分析，并且明确洛伦兹力受速度影响；第（2）问要分好过程，明确每个过程的运动形式，再选择合适的规律解决，对数学几何能力有一定的要求．