Question

1．如图所示，水平地面和半圆轨道面均光滑，质量M=1kg的小车静止在地面上，小车上表面与R=0.24m的半圆轨道最低点P的切线相平．现有一质量m=2kg的滑块（可视为质点）以v₀=6m/s的初速度滑上小车左端，二者共速时的速度为v₁=4m/s，此时小车还未与墙壁碰撞，当小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，已知滑块与小车表面的滑动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s²，求：

（1）小车的最小长度；
（2）滑块m恰好从Q点离开圆弧轨道时小车的长度；
（3）小车的长度L在什么范围，滑块不脱离轨道？

Answer 1

分析 （1）滑块在小车滑行过程，系统所受的合外力为零，动量守恒，可求出共同速度．小车的长度与系统产生的内能有关．当两者速度相同滑块刚好滑到小车的右端时，小车的长度最短，根据能量守恒求解最小长度；
（2）滑块m恰好从Q点离开圆弧轨道时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求得经过Q点时的速度．小车粘在墙壁后，滑块在车上滑动，对滑块从车上开始滑动到运动到Q点的过程，运用动能定理即可求得滑块滑过的距离，由几何关系求出小车的长度；
（3）滑块不脱离圆轨道可能从Q点离开轨道，也可能滑到T点，根据动能定理结合上题的结果可求出L的范围．

解答 解：（1），设小车的最小长度为L₁，由能量守恒定律得：
μmgL₁=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$（m+M）v₁²，解得：L₁=3m；
（2）m恰能滑过圆弧的最高点，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$，
小车粘在墙壁后，滑块在车上滑动，运动到最高点Q，
在这个过程对滑块由动能定理：-μmgL₂-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_Q²-$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得：L₂=1m，所以小车长度：L=L₁+L₂=4m；
（3）由（2）可知，滑块要想运动到Q点，小车的长度L必须满足：3m≤L≤4m；
若滑块恰好滑至$\frac{1}{4}$圆弧到达T点时速度为0，则滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．
小车粘在墙壁后，滑块在车上滑动，运动到T点，在这个过程对滑块由动能定理：
-μmgL₂′-mgR=0-$\frac{1}{2}$mv₁²，解得：L₂′=2.8m，
所以小车长度：L′=L₁+L₂′=5.8m，小车的长度L必须满足：L≥5.8m；
当L=7m时滑块恰好在P点停止，故L不能大于7m，否则滑块不能到达P点，
因此长度的范围为，5.8m≤L≤7m，
答：
（1）小车的最小长度为3m；
（2）滑块m恰好从Q点离开圆弧轨道时小车的长度为4m；
（3）小车的长度L范围是：3m≤L≤4m或5.8m≤L≤7m时滑块不脱离轨道．

点评 当遇到相互作用的问题时要想到运用动量守恒定律并结合能量守恒定律求解，当遇到竖直面内圆周运动问题时注意临界速度的求法．该题还要注意对滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道的情景分析．