Question

10．如图所示，细绳一端系着质量M=8kg的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊质量m=2kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为16N．现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g取10m/s²，答案化简到最简形式，可不开根号）

Answer 1

分析 当此平面绕中心轴线以角速度ω转动时，若M恰好要向里滑动时，ω取得最小值，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向外，由最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供M所需要的向心力．若M恰好要向外滑动时，ω取得最大值，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向里，由最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供M所需要的向心力．根据牛顿第二定律分别求出ω的最小值和最大值，即可得到ω的取值范围．

解答 解：设此平面角速度ω的最小值为ω₁，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向外，则由牛顿第二定律得：
T-f_max=$Mr{{ω}_{1}}^{2}$，
又T=mg，f_max=16N，
解得：${ω}_{1}=\frac{\sqrt{10}}{2}rad/s$．
设此平面角速度ω的最大值为ω₂，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向里，则由牛顿第二定律得：
T+f_max=$Mr{{ω}_{2}}^{2}$，
又T=mg
代入解得：ω₂=$\frac{3\sqrt{10}}{2}rad/s$
则ω的范围为$\frac{\sqrt{10}}{2}rad/s≤ω≤\frac{3\sqrt{10}}{2}rad/s$
答：角速度ω在$\frac{\sqrt{10}}{2}rad/s≤ω≤\frac{3\sqrt{10}}{2}rad/s$范围m会处于静止状态．

点评 本题是圆周运动中临界问题，抓住当M恰好相对此平面滑动时静摩擦力达到最大，由牛顿第二定律求解角速度的取值范围．